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Die beschreibende Statistik sagt dir, wie deine Stichprobe aussieht. Sie sagt dir nicht, ob ein gefundener Unterschied mehr ist als Zufall – und genau diese Frage entscheidet in der Statistik-2-Klausur über die Punkte. Zwei Stichproben aus derselben Grundgesamtheit liefern praktisch nie denselben Mittelwert. Der Signifikanztest liefert deshalb keine Wahrheit, sondern eine Entscheidungsregel mit kontrolliertem Irrtumsrisiko: Er berechnet, wie unwahrscheinlich dein Ergebnis wäre, wenn in der Population gar kein Effekt existierte.
Diese Hypothesentest-Zusammenfassung geht den Stoff in der Reihenfolge durch, in der du ihn in der Klausur brauchst: Null- und Alternativhypothese richtig aufstellen, gerichtete gegen ungerichtete Fragestellung, Fehler 1. und 2. Art, Signifikanzniveau α und Teststärke, dann Prüfgröße, kritischer Wert, Ablehnbereich und p-Wert. Anschließend werden die Standardverfahren durchgerechnet: t-Test erklärt für eine Stichprobe, für unabhängige und für abhängige Stichproben, dazu der z-Test bei bekannter Varianz, beide Chi-Quadrat-Tests, die einfaktorielle Varianzanalyse im Überblick und die nichtparametrischen Alternativen. Jede Prüfgröße steht mit ihrem kritischen Wert aus der Tabelle da, damit du die Entscheidung ohne Tabellenwerk nachvollziehen kannst.
Besonderes Gewicht liegt auf den Stellen, an denen Klausuren gezielt nachhaken: Der p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass H₀ stimmt. Ein nicht signifikantes Ergebnis beweist H₀ nicht, sondern lässt sie nur unwidersprochen. Ein kleineres α senkt bei festem n die Teststärke. Und Signifikanz ist keine Effektgröße: Bei sehr großem n wird auch ein praktisch bedeutungsloser Unterschied signifikant. Lernkarten und Übungsfragen unten prüfen genau diese Unterscheidungen. Du kannst alles direkt hier durcharbeiten – oder die Inhalte kostenfrei in deinen Learnboost Account übernehmen und dort mit Spaced Repetition, Lernplan und KI-Tutor weiterlernen.
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Ein Hypothesentest beantwortet eine einzige Frage: Ist der Unterschied, den du in deiner Stichprobe siehst, groß genug, um ihn nicht mehr dem Zufall zuzuschreiben?
Die beschreibende Statistik fasst zusammen, was in den Daten steht; die schließende schließt von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit. Weil jede Stichprobe zufällig zustande kommt, schwankt jede Kennzahl um den wahren Wert; diese Schwankung misst der Standardfehler s / √n, der nur mit der Wurzel aus n sinkt. Mittelwert x̄ und Standardabweichung s gelten hier als bekannt.
Die Nullhypothese H₀ behauptet, dass es den Effekt nicht gibt. Sie enthält immer das Gleichheitszeichen (=, ≤ oder ≥) – nur mit einem festen Wert ist die Verteilung der Prüfgröße bestimmbar. Die Alternativhypothese H₁ ist das Gegenstück mit ≠, > oder <.
Die Kunst liegt in der Zuordnung: Was du belegen willst, gehört in H₁ – nur für das Verwerfen von H₀ ist das Irrtumsrisiko durch α kontrolliert. Soll ein Training den Punktwert über μ₀ = 100 heben, lautet das Paar ungerichtet H₀: μ = 100 gegen H₁: μ ≠ 100, gerichtet H₀: μ ≤ 100 gegen H₁: μ > 100.
Eine ungerichtete Hypothese fragt nur, ob ein Unterschied besteht: zweiseitiger Test, α verteilt sich zu je α/2 auf beide Verteilungsenden. Eine gerichtete Hypothese legt die Richtung fest: einseitiger Test, das ganze α liegt auf einem Ende und der kritische Wert rückt näher an die Mitte. Der Preis: Eine Abweichung in die Gegenrichtung kann nie signifikant werden.
Mit n = 25, x̄ = 104, μ₀ = 100 und s = 10 ist t = (104 − 100) / (10 / √25) = 4 / 2 = 2,00 bei df = 24. Aus der t-Tabelle bei df = 24 und α = 0,05: zweiseitig 2,064, einseitig 1,711. Dieselben Daten führen zweiseitig zum Beibehalten und einseitig zum Verwerfen von H₀ – deshalb muss die Richtung vor der Datenerhebung feststehen.
Beim Fehler 1. Art wird H₀ verworfen, obwohl sie zutrifft – ein Fehlalarm mit Wahrscheinlichkeit α (üblich 0,05 oder 0,01). Beim Fehler 2. Art wird H₀ beibehalten, obwohl H₁ zutrifft – ein vorhandener Effekt wird übersehen; seine Wahrscheinlichkeit β folgt aus Stichprobenumfang, wahrer Effektgröße, Streuung und α. Der eine Fehler bringt ein wirkungsloses Medikament auf den Markt, der andere lässt ein wirksames liegen.
Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, einen vorhandenen Effekt auch zu finden; Konvention ist 0,80. Sie steigt mit größerem n, größerem wahren Effekt, kleinerer Streuung und größerem α. Daraus folgt der Zielkonflikt: Bei festem n senkt ein kleineres α die Teststärke, weil der Ablehnbereich schrumpft. Nur ein größeres n verbessert beide Fehlerrisiken zugleich.
Die Prüfgröße standardisiert die beobachtete Abweichung an ihrem Standardfehler, etwa t = (x̄ − μ₀) / (s / √n). Unter Gültigkeit von H₀ ist ihre Verteilung bekannt – hier die t-Verteilung mit df = n − 1. Aus ihr stammt der kritische Wert, der den Ablehnbereich abgrenzt: alle Werte, die unter H₀ zusammen höchstens mit Wahrscheinlichkeit α auftreten – zweiseitig in beiden Enden, einseitig in einem. Entscheidungsregel: Überschreitet der Betrag der Prüfgröße den kritischen Wert, wird H₀ verworfen, sonst beibehalten.
Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter Gültigkeit von H₀ ein mindestens so extremes Ergebnis zu erhalten wie das beobachtete. Er ersetzt den Tabellenvergleich: p ≤ α bedeutet dasselbe wie „Prüfgröße im Ablehnbereich“. Zweiseitig zählen beide Richtungen, der p-Wert ist dann doppelt so groß. Für z = 2,40 ist p ≈ 0,016: Gälte H₀, lieferten nur rund 1,6 % aller Stichproben ein so extremes oder extremeres Ergebnis.
Drei Fehldeutungen kosten Punkte: p ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass H₀ wahr ist – die Rechnung setzt H₀ als gültig voraus. p ist nicht die Irrtumswahrscheinlichkeit der Entscheidung. Und p ist keine Effektstärke.
Der Test ist unsymmetrisch: Verwirfst du H₀, ist das Risiko durch α gedeckelt. Behältst du H₀ bei, ist das zugehörige Risiko β meist unbekannt und bei kleiner Stichprobe groß. Deshalb wird H₀ beibehalten, nicht angenommen: „Kein Beleg für einen Unterschied“ ist etwas anderes als „Beleg für keinen Unterschied“. Wer Gleichheit zeigen will, braucht ein Äquivalenztestverfahren.
Sechs Schritte in dieser Reihenfolge: H₀ und H₁ formulieren und über die Richtung entscheiden; α festlegen, vor dem Blick in die Daten; Verfahren wählen und seine Voraussetzungen prüfen; Prüfgröße und Freiheitsgrade berechnen; kritischen Wert oder p-Wert bestimmen; entscheiden und interpretieren, mitsamt Effektstärke.
Der Ein-Stichproben-t-Test: t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1. Der z-Test ist baugleich, setzt aber σ als bekannt voraus: z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n) gegen 1,96 zweiseitig oder 1,645 einseitig (Standardnormalverteilung, α = 0,05). Da σ praktisch nie bekannt ist, dominiert der t-Test.
Der t-Test für unabhängige Stichproben poolt bei Varianzhomogenität zuerst: s²p = ((n₁ − 1)·s₁² + (n₂ − 1)·s₂²) / (n₁ + n₂ − 2), dann t = (x̄₁ − x̄₂) / (s_p · √(1/n₁ + 1/n₂)), df = n₁ + n₂ − 2. Für zwei Gruppen à 20 mit x̄₁ = 78, s₁ = 8, x̄₂ = 72, s₂ = 6 ist s_p = 7,07 und t = 2,68 bei df = 38 gegen 2,024 (t-Tabelle, α = 0,05 zweiseitig) – signifikant.
Der t-Test für abhängige Stichproben rechnet mit den Differenzen der Paare: t = d̄ / (s_d / √n), df = n − 1 mit n als Zahl der Paare; für 16 Paare also df = 15 und ein kritischer Wert von 2,131 (t-Tabelle, α = 0,05 zweiseitig). Die Paarung rechnet Personenunterschiede heraus, das Design ist teststärker.
Die Chi-Quadrat-Tests arbeiten mit Häufigkeiten: χ² = Σ (O − E)² / E. Beim Unabhängigkeitstest ist E = Zeilensumme · Spaltensumme / n und df = (Zeilen − 1) · (Spalten − 1); eine 2×2-Tabelle hat also df = 1 und den kritischen Wert 3,841 (Chi-Quadrat-Tabelle, α = 0,05). Beim Anpassungstest gilt df = Kategorien − 1, vermindert um jeden geschätzten Parameter; ein Würfeltest über sechs Kategorien hat df = 5 und den kritischen Wert 11,07 (Chi-Quadrat-Tabelle, α = 0,05).
Die einfaktorielle Varianzanalyse vergleicht mehr als zwei Gruppen in einem Test: F = MS_zwischen / MS_innerhalb, df₁ = k − 1, df₂ = N − k. Für k = 3 Gruppen à 10 mit MS_zwischen = 40 und MS_innerhalb = 10 ist F = 4,00 bei df₁ = 2 und df₂ = 27 gegen 3,35 (F-Tabelle, α = 0,05) – signifikant, aber nur als Aussage, dass sich irgendwo zwei Gruppen unterscheiden; welche, klären Post-hoc-Vergleiche mit Alpha-Korrektur. Nichtparametrische Alternativen rechnen mit Rängen: Mann-Whitney-U ersetzt den unabhängigen, der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test den abhängigen t-Test. Sie brauchen keine Normalverteilung, kosten aber Teststärke, wenn sie erfüllt ist.
Die Unabhängigkeit der Beobachtungen ist die härteste Voraussetzung: nachträglich nicht reparierbar, nur über das Design zu sichern. Die Normalverteilung betrifft das Merkmal in der Population; dank des zentralen Grenzwertsatzes ist der t-Test ab etwa 30 Fällen pro Gruppe robust, bei kleinem n oder starker Schiefe weicht man auf Rangverfahren aus. Die Varianzhomogenität prüft der Levene-Test; ist sie verletzt, korrigiert die Welch-Variante die Freiheitsgrade. Bei den Chi-Quadrat-Tests sollten die erwarteten – nicht die beobachteten – Häufigkeiten mindestens 5 betragen, sonst Kategorien zusammenfassen oder den exakten Test nach Fisher rechnen.
Das Konfidenzintervall für den Mittelwert lautet x̄ ± t(1 − α/2; df) · s / √n. Im Eingangsbeispiel ergibt das 104 ± 2,064 · 2 = [99,87; 108,13]; der Wert 100 aus H₀ liegt darin – dieselbe Aussage wie „nicht signifikant“. Beim z-Beispiel liegt 500 außerhalb von [502,20; 521,80] – signifikant. Beide Wege führen immer zur gleichen Entscheidung; zusätzlich zeigt das Intervall, wie präzise geschätzt wurde. Zur Deutung: Das Verfahren überdeckt bei wiederholter Ziehung 95 % der Fälle – nicht der Parameter liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit im berechneten Intervall.
Cohens d misst den Unterschied in Einheiten der Streuung und hängt damit nicht am Stichprobenumfang: d = (x̄ − μ₀) / s beziehungsweise d = (x̄₁ − x̄₂) / s_p, mit 0,2 als kleinem, 0,5 als mittlerem und 0,8 als großem Effekt; im Gruppenbeispiel oben ist d = 0,85. Signifikanz ist keine Effektgröße: Bei n = 10.000, x̄ = 100,5, μ₀ = 100 und s = 10 ist t = 0,5 / 0,1 = 5,00 – hochsignifikant, während d = 0,05 praktisch null ist. Ein großes n macht jeden noch so kleinen Unterschied signifikant.
Beim multiplen Testen hält jeder Test α ein, das Risiko summiert sich aber: Bei 5 unabhängigen Tests zum Niveau 0,05 liegt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler 1. Art bei 1 − 0,95⁵ = 0,226, bei 20 Tests bei rund 64 %. Bonferroni teilt das Niveau auf die Zahl der Tests auf, bei 5 Tests also 0,01 – einfach, aber konservativ; Holm und Benjamini-Hochberg sind sparsamer.
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Die beschreibende Statistik fasst zusammen, was in den erhobenen Daten steht. Der Signifikanztest gehört zur schließenden Statistik: Er nutzt die Stichprobe, um eine Aussage über die Grundgesamtheit zu treffen. Weil jede Stichprobe zufällig schwankt, liefert er keine Wahrheit, sondern eine Entscheidungsregel mit kontrolliertem Irrtumsrisiko – er quantifiziert, wie unwahrscheinlich das beobachtete Ergebnis wäre, wenn in der Population kein Effekt existierte.
H₀ behauptet, dass es den Effekt nicht gibt, und enthält immer das Gleichheitszeichen (=, ≤ oder ≥) – nur mit einem festen Wert lässt sich die Verteilung der Prüfgröße bestimmen. H₁ ist das Gegenstück mit ≠, > oder < und enthält das, was du belegen willst. Beispiel bei μ₀ = 100: ungerichtet H₀: μ = 100 gegen H₁: μ ≠ 100, gerichtet H₀: μ ≤ 100 gegen H₁: μ > 100. Die Forschungshypothese gehört in H₁, weil nur für das Verwerfen von H₀ das Risiko durch α kontrolliert ist.
Ungerichtet (H₁: μ ≠ μ₀) heißt zweiseitig testen: Das Niveau wird auf beide Verteilungsenden aufgeteilt, je α/2. Gerichtet (H₁: μ > μ₀) heißt einseitig testen: Das ganze α liegt auf einem Ende, der kritische Wert rückt näher an die Mitte, der Test wird in dieser Richtung empfindlicher. Der Preis ist, dass eine Abweichung in die Gegenrichtung nie signifikant werden kann. Beispiel mit t = 2,00 und df = 24: zweiseitig ist der kritische Wert 2,064 (H₀ bleibt), einseitig 1,711 (H₀ fällt). Deshalb muss die Richtung vor der Datenerhebung feststehen.
Fehler 1. Art: H₀ wird verworfen, obwohl sie zutrifft – ein Fehlalarm, seine Wahrscheinlichkeit ist das vorab festgelegte α. Fehler 2. Art: H₀ wird beibehalten, obwohl H₁ zutrifft – ein vorhandener Effekt wird übersehen, seine Wahrscheinlichkeit heißt β und wird nicht festgelegt, sondern ergibt sich aus n, wahrer Effektgröße, Streuung und α. Praktisch: Ein Fehler 1. Art bringt ein wirkungsloses Medikament auf den Markt, ein Fehler 2. Art lässt ein wirksames liegen.
Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, einen tatsächlich vorhandenen Effekt auch als signifikant zu erkennen; als Konvention gilt 0,80. Sie steigt mit größerem Stichprobenumfang, größerem wahren Effekt, kleinerer Streuung im Merkmal und größerem α – sowie beim einseitigen Test in der vorhergesagten Richtung. Daraus folgt der Zielkonflikt: Bei festem n senkt ein kleineres α die Teststärke, weil der Ablehnbereich schrumpft. Nur ein größeres n verbessert α-Schutz und Teststärke gleichzeitig.
Die Prüfgröße standardisiert die beobachtete Abweichung an ihrem eigenen Standardfehler, etwa t = (x̄ − μ₀) / (s / √n). Unter Gültigkeit von H₀ ist ihre Verteilung bekannt, hier die t-Verteilung mit df = n − 1. Der kritische Wert grenzt den Ablehnbereich ab: den Bereich derjenigen Prüfgrößenwerte, die unter H₀ zusammen höchstens mit Wahrscheinlichkeit α auftreten – zweiseitig in beiden Enden, einseitig nur in einem. Entscheidungsregel: Überschreitet der Betrag der Prüfgröße den kritischen Wert, wird H₀ verworfen, sonst beibehalten.
Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter Gültigkeit von H₀ ein mindestens so extremes Ergebnis zu erhalten wie das beobachtete. p = 0,016 heißt also: Gälte H₀, lieferten nur rund 1,6 % aller Stichproben ein so extremes oder extremeres Ergebnis. Die Entscheidungsregel p ≤ α ist gleichwertig zum Vergleich der Prüfgröße mit dem kritischen Wert. Beim zweiseitigen Test zählen beide Richtungen mit, der zweiseitige p-Wert ist deshalb doppelt so groß wie der einseitige.
Weil der Test unsymmetrisch gebaut ist: Beim Verwerfen von H₀ ist das Risiko durch α gedeckelt, beim Beibehalten ist das zugehörige Risiko β unbekannt und bei kleiner Stichprobe oft groß. H₀ wird deshalb beibehalten, nicht angenommen. „Kein Beleg für einen Unterschied“ ist etwas anderes als „Beleg für keinen Unterschied“. Wer Gleichheit wirklich zeigen will, braucht ein Äquivalenztestverfahren statt eines gewöhnlichen Signifikanztests.
1. H₀ und H₁ formulieren und über ein- oder zweiseitig entscheiden. 2. α festlegen – vor dem Blick in die Daten. 3. Testverfahren wählen und seine Voraussetzungen prüfen. 4. Prüfgröße berechnen und Freiheitsgrade bestimmen. 5. Kritischen Wert nachschlagen oder p-Wert bestimmen. 6. Entscheiden und inhaltlich interpretieren, mitsamt Effektstärke. Die Reihenfolge ist Teil der Methode: α und Richtung nach Sichtung der Daten zu wählen, entwertet das Ergebnis.
t = (x̄ − μ₀) / (s / √n) mit df = n − 1. Der Standardfehler ist 10 / √25 = 10 / 5 = 2, also t = (104 − 100) / 2 = 2,00 bei df = 24. Aus der t-Tabelle bei df = 24 und α = 0,05 zweiseitig: 2,064. Wegen |2,00| < 2,064 fällt die Prüfgröße nicht in den Ablehnbereich, H₀ wird beibehalten. Einseitig wäre der kritische Wert 1,711 und die Entscheidung fiele umgekehrt aus.
Der z-Test setzt die Populationsstreuung σ als bekannt voraus: z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n). Der t-Test schätzt sie dagegen aus der Stichprobe durch s und nutzt deshalb die t-Verteilung mit df = n − 1. Rechnung: Standardfehler 30 / √36 = 5, also z = (512 − 500) / 5 = 2,40. Kritischer Wert der Standardnormalverteilung bei α = 0,05 zweiseitig: 1,96. Wegen 2,40 > 1,96 wird H₀ verworfen. Da σ in der Praxis fast nie bekannt ist, dominiert der t-Test.
Bei Varianzhomogenität zuerst poolen: s²p = ((n₁ − 1)·s₁² + (n₂ − 1)·s₂²) / (n₁ + n₂ − 2) = (19·64 + 19·36) / 38 = 1900 / 38 = 50, also s_p = √50 = 7,07. Standardfehler: s_p · √(1/n₁ + 1/n₂) = 7,07 · √0,1 = 2,236. Prüfgröße: t = (78 − 72) / 2,236 = 2,68 bei df = n₁ + n₂ − 2 = 38. Aus der t-Tabelle bei df = 38 und α = 0,05 zweiseitig: 2,024. Wegen 2,68 > 2,024 wird H₀ verworfen.
Getestet werden nicht die Rohwerte, sondern die Differenzen je Paar: t = d̄ / (s_d / √n) mit df = n − 1, wobei n die Zahl der Paare ist. Standardfehler: 5,0 / √16 = 5,0 / 4 = 1,25, also t = 3,2 / 1,25 = 2,56 bei df = 15. Aus der t-Tabelle bei df = 15 und α = 0,05 zweiseitig: 2,131. Wegen 2,56 > 2,131 wird H₀ verworfen. Weil die Paarung die Unterschiede zwischen Personen herausrechnet, ist dieses Design bei gleichem n meist teststärker als der Vergleich unabhängiger Gruppen.
Erwartete Häufigkeit einer Zelle: Zeilensumme · Spaltensumme / n. Prüfgröße: χ² = Σ (O − E)² / E, Freiheitsgrade: df = (Zeilen − 1) · (Spalten − 1). Bei 100 Personen mit Lernplan (70 bestanden) und 100 ohne (50 bestanden) sind die Randsummen 120 und 80, also E = 100·120/200 = 60 für die Bestanden-Zellen und 40 für die übrigen. Die Beiträge lauten 100/60 = 1,67 und 100/40 = 2,50, jeweils zweimal: χ² = 8,33 bei df = 1. Aus der Chi-Quadrat-Tabelle bei α = 0,05: 3,841. Wegen 8,33 > 3,841 wird H₀ verworfen.
Er vergleicht eine beobachtete Häufigkeitsverteilung mit einer theoretischen; df = Kategorien − 1, vermindert um jeden aus den Daten geschätzten Parameter. Bei einem fairen Würfel sind je 120/6 = 20 Würfe zu erwarten. Die Beiträge: (15−20)²/20 = 1,25, (22−20)²/20 = 0,20, (18−20)²/20 = 0,20, (25−20)²/20 = 1,25, die beiden Zwanziger liefern 0. Summe: χ² = 2,90 bei df = 5. Aus der Tabelle bei α = 0,05: 11,07. Wegen 2,90 < 11,07 wird H₀ beibehalten – die Abweichungen sind mit einem fairen Würfel gut vereinbar.
Sie vergleicht mehr als zwei Gruppen in einem Test, statt viele t-Tests zu rechnen und damit das Fehlerrisiko aufzublähen. Prüfgröße: F = MS_zwischen / MS_innerhalb mit df₁ = k − 1 und df₂ = N − k. Hier ist N = 30, also df₁ = 2 und df₂ = 27, MS_zwischen = 80/2 = 40 und MS_innerhalb = 270/27 = 10, damit F = 4,00. Aus der F-Tabelle bei α = 0,05: 3,35. Wegen 4,00 > 3,35 ist der Test signifikant – er sagt aber nur, dass sich irgendwo zwei Gruppen unterscheiden. Welche, klären Post-hoc-Vergleiche mit Alpha-Korrektur.
Das Intervall lautet x̄ ± t(1 − α/2; df) · s / √n und führt immer zur gleichen Entscheidung wie der zweiseitige Test zum Niveau α: Liegt der Wert aus H₀ im Intervall, ist das Ergebnis nicht signifikant, liegt er außerhalb, ist es signifikant. Beispiel: 104 ± 2,064 · 2 = [99,87; 108,13] enthält μ₀ = 100 – nicht signifikant. Beim z-Beispiel ist 512 ± 1,96 · 5 = [502,20; 521,80], und 500 liegt außerhalb – signifikant. Zusätzlich zeigt das Intervall, wie präzise geschätzt wurde.
Lerne diese Karten mit Spaced Repetition weiter — kostenfrei in deinem Learnboost Account.
Lernkarten übernehmenLösung:
Der Standardfehler beträgt s / √n = 10 / √25 = 2, also t = (104 − 100) / 2 = 2,00 bei df = n − 1 = 24. Aus der t-Tabelle bei df = 24 und α = 0,05 zweiseitig: 2,064. Wegen |2,00| < 2,064 liegt die Prüfgröße nicht im Ablehnbereich, H₀ wird beibehalten.
Zwei Fallen stecken in dieser Aufgabe. Erstens sind die Freiheitsgrade n − 1 = 24, nicht n. Zweitens ist der einseitige kritische Wert 1,711 und damit kleiner als 2,064 – wer die Seitigkeit vertauscht, käme zur gegenteiligen Entscheidung, obwohl die Fragestellung ungerichtet ist. Die Richtung darf nicht nachträglich gewählt werden, nur weil das Ergebnis sonst nicht signifikant wird. Der Wert t = 0,40 entspräche der Effektstärke d = (104 − 100) / 10, nicht der Prüfgröße: Die Prüfgröße teilt durch den Standardfehler, die Effektstärke durch die Streuung.
Lösung:
Der p-Wert ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit unter Gültigkeit von H₀: Er gibt an, wie wahrscheinlich ein mindestens so extremes Ergebnis wäre, wenn H₀ zuträfe. Er sagt nichts darüber, wie wahrscheinlich H₀ selbst ist.
Die Berechnung setzt H₀ als gültig voraus; deshalb kann das Ergebnis keine Wahrscheinlichkeit für H₀ sein – die Bedingung lässt sich nicht einfach umdrehen. Ebenso wenig ist p die Irrtumswahrscheinlichkeit der konkreten Entscheidung: Diese Rolle spielt α, und α wird vorab festgelegt, nicht aus den Daten berechnet. Auch die Ergänzung auf 97 % für H₁ ist unzulässig, weil H₁ in der Rechnung überhaupt nicht vorkommt. Der p-Wert misst zudem keine Effektgröße: Bei großem n wird auch ein winziger Unterschied klein im p-Wert.
Lösung:
Richtig sind die vier Aussagen zu den Definitionen der beiden Fehlerarten, zum Absinken der Teststärke bei kleinerem α und zum Anstieg der Teststärke mit größerem n. Falsch ist, dass sich α und β bei festem n gleichzeitig beliebig senken lassen, und ebenso, dass β frei festgelegt wird.
Ein kleineres α verschiebt den kritischen Wert nach außen und verkleinert den Ablehnbereich. Damit werden weniger Ergebnisse signifikant, auch echte Effekte fallen häufiger durch: β steigt, die Teststärke sinkt. Bei festem n sind α und β deshalb gegenläufig; nur ein größerer Stichprobenumfang verbessert beides, weil er den Standardfehler verkleinert. β ergibt sich außerdem aus wahrer Effektgröße, Streuung, n und α – geplant wird es über die Stichprobenplanung, festgelegt wird es nicht.
Lösung:
Die Randsummen lauten 120 bestanden und 80 nicht bestanden. Erwartet werden je 100 · 120 / 200 = 60 Bestandene und 100 · 80 / 200 = 40 Nichtbestandene pro Gruppe. Die vier Beiträge sind 100/60 = 1,67 und 100/40 = 2,50, jeweils zweimal, also χ² = 8,33. Bei einer 2×2-Tabelle ist df = (2 − 1) · (2 − 1) = 1, der kritische Wert aus der Chi-Quadrat-Tabelle bei α = 0,05 beträgt 3,841. Wegen 8,33 > 3,841 wird H₀ verworfen: Bestehen und Lernplannutzung sind nicht unabhängig.
Die Freiheitsgrade hängen beim Unabhängigkeitstest nur an der Tabellenform, nicht am Stichprobenumfang: df = (Zeilen − 1) · (Spalten − 1), hier also 1. Der Anpassungstest verwendet dagegen df = Kategorien − 1, vermindert um jeden aus den Daten geschätzten Parameter – die beiden Formeln werden regelmäßig verwechselt. Wer die Beiträge nur für eine Zeile summiert, landet bei 4,17 und damit bei einer knappen Fehlentscheidung. Zu prüfen ist außerdem die Voraussetzung, dass die erwarteten Häufigkeiten mindestens 5 betragen; mit 40 und 60 ist sie hier deutlich erfüllt.
Lösung:
Gepoolte Varianz: s²p = ((n₁ − 1)·s₁² + (n₂ − 1)·s₂²) / (n₁ + n₂ − 2) = (19 · 64 + 19 · 36) / 38 = 1900 / 38 = 50. Daraus s_p = √50 = 7,07.
Standardfehler der Mittelwertsdifferenz: s_p · √(1/20 + 1/20) = 7,07 · √0,1 = 2,236. Prüfgröße: t = (78 − 72) / 2,236 = 2,68 bei df = n₁ + n₂ − 2 = 38.
Entscheidung: Aus der t-Tabelle bei df = 38 und α = 0,05 zweiseitig lautet der kritische Wert 2,024. Wegen 2,68 > 2,024 liegt die Prüfgröße im Ablehnbereich, H₀ wird verworfen – der Mittelwertsunterschied ist signifikant.
Effektstärke: Cohens d = (78 − 72) / 7,07 = 0,85. Nach den üblichen Konventionen (0,2 klein, 0,5 mittel, 0,8 groß) ist das ein großer Effekt. Signifikanz und Effektstärke stützen sich hier also gegenseitig.
Der häufigste Rechenfehler ist die Verwechslung von s²p und s_p: In den Standardfehler geht die Wurzel ein. Ein zweiter Klassiker sind die Freiheitsgrade – bei zwei unabhängigen Gruppen gilt df = n₁ + n₂ − 2 = 38, nicht n − 1 = 19. Beachte den Unterschied zwischen Prüfgröße und Effektstärke: t teilt die Differenz durch den Standardfehler und wächst deshalb mit n, während d durch die Streuung teilt und vom Stichprobenumfang unabhängig ist. Deshalb gehört zu jedem signifikanten Ergebnis eine Effektstärke. Voraussetzungen des Verfahrens sind unabhängige Beobachtungen, annähernde Normalverteilung und Varianzhomogenität; letztere ist mit s₁ = 8 gegen s₂ = 6 plausibel, andernfalls würde man auf die Welch-Variante ausweichen.
Lösung:
Richtig sind die Welch-Korrektur bei Varianzheterogenität, der Mann-Whitney-U-Test als Rangalternative, die Robustheit des t-Tests ab etwa 30 Fällen pro Gruppe und der Bezug der Faustregel auf die erwarteten Häufigkeiten. Falsch ist, dass verletzte Unabhängigkeit durch mehr Fälle heilbar wäre, und ebenso, dass Rangverfahren bei erfüllter Normalverteilung teststärker wären.
Die Unabhängigkeit ist die einzige der drei klassischen Voraussetzungen, die kein Korrekturverfahren rettet: Abhängige Beobachtungen unterschätzen den Standardfehler systematisch, und mehr Fälle verstärken diesen Fehler, statt ihn zu beheben. Hier hilft nur ein passendes Modell, etwa ein Mehrebenenmodell oder ein Test für abhängige Stichproben. Bei den Chi-Quadrat-Tests wird die Faustregel oft auf die beobachteten Häufigkeiten bezogen – gemeint sind jedoch die erwarteten, weil sie im Nenner der Prüfgröße stehen. Rangverfahren verzichten auf Verteilungsannahmen und zahlen dafür mit etwas geringerer Teststärke, sobald die parametrischen Annahmen tatsächlich zutreffen.
Lösung:
Weil σ bekannt ist, wird der z-Test gerechnet: z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n) = (512 − 500) / (30 / 6) = 12 / 5 = 2,40. Der kritische Wert der Standardnormalverteilung beträgt bei α = 0,05 zweiseitig 1,96. Wegen 2,40 > 1,96 wird H₀ verworfen.
Bei bekanntem σ liefert die Standardnormalverteilung den kritischen Wert, Freiheitsgrade gibt es nicht. Der Wert 2,576 gehört zu α = 0,01 und ist hier nicht einschlägig; wer ihn heranzieht, testet unbemerkt auf einem strengeren Niveau. Der Wert 0,40 entstünde, wenn statt durch den Standardfehler σ / √n nur durch σ geteilt würde – das ist die Effektstärke, nicht die Prüfgröße. Passend zur Entscheidung liegt auch das Konfidenzintervall 512 ± 1,96 · 5 = [502,20; 521,80] vollständig oberhalb von 500.
Lösung:
Die Aussage ist unzulässig. Ein nicht signifikantes Ergebnis führt dazu, dass H₀ beibehalten wird – nicht dazu, dass sie angenommen oder bewiesen ist. Der Test ist unsymmetrisch aufgebaut: Beim Verwerfen von H₀ ist das Irrtumsrisiko durch α gedeckelt, beim Beibehalten ist das zugehörige Risiko β unbekannt und bei kleinen Stichproben groß.
Mit 18 Personen pro Gruppe ist die Teststärke für kleine und mittlere Effekte niedrig; ein vorhandener Unterschied wäre also mit erheblicher Wahrscheinlichkeit übersehen worden. Ein nicht signifikantes Ergebnis kann daher auch schlicht bedeuten, dass die Stichprobe zu klein war.
Korrekt formuliert: „Die Daten liefern keinen Beleg für einen Unterschied zwischen den Trainingsformen; H₀ wird beibehalten. Ob tatsächlich kein Unterschied besteht, lässt sich daraus nicht schließen.“ Wer Gleichwirksamkeit belegen will, braucht ein Äquivalenztestverfahren mit vorab definierter Toleranzgrenze und eine daran ausgerichtete Stichprobenplanung. Sinnvoll ist zusätzlich die Angabe des Konfidenzintervalls für den Unterschied: Ist es breit, zeigt es unmittelbar, dass auch relevante Effekte mit den Daten vereinbar bleiben.
„Kein Beleg für einen Unterschied“ und „Beleg für keinen Unterschied“ sind verschiedene Aussagen; die Verwechslung ist einer der häufigsten Fehler in Ergebnisberichten. Der p-Wert von 0,42 sagt lediglich, dass ein Ergebnis wie das beobachtete unter H₀ nicht überraschend wäre. Über die Wahrscheinlichkeit von H₀ selbst sagt er nichts. Volle Punkte gibt es für drei Elemente: die Unterscheidung zwischen Beibehalten und Annehmen, den Hinweis auf die unbekannte beziehungsweise niedrige Teststärke bei kleiner Stichprobe und eine korrekte Neuformulierung – idealerweise mit dem Hinweis auf Äquivalenztests oder das Konfidenzintervall.
Lösung:
Richtig sind die vier Aussagen zur Entscheidungsäquivalenz, zur Übereinstimmung von Intervall und zweiseitigem Test, zur Verschmälerung bei größerem n und zum Präzisionsgewinn. Falsch ist die Wahrscheinlichkeitsaussage über den wahren Parameter im konkreten Intervall und ebenso die Behauptung, der p-Wert lasse sich aus der Breite ablesen.
Die 95 % beziehen sich auf das Verfahren: Bei wiederholter Stichprobenziehung überdecken 95 % der so berechneten Intervalle den wahren Parameter. Das konkret berechnete Intervall enthält ihn entweder oder nicht – eine Wahrscheinlichkeit im frequentistischen Sinn gibt es dafür nicht. Die Intervallbreite ergibt sich aus kritischem Wert mal Standardfehler und hängt damit an n, an der Streuung und am gewählten Niveau; sie zeigt zwar, ob μ₀ ein- oder ausgeschlossen ist, liefert aber keinen p-Wert, weil dafür der Abstand der Prüfgröße zur Verteilungsmitte nötig wäre.
Lösung:
Verfahren: Es liegen zwei Messungen an denselben Personen vor, die Beobachtungen sind also nicht unabhängig. Gerechnet wird der t-Test für abhängige Stichproben über die Differenzen je Person; H₀: μ_d = 0 gegen H₁: μ_d ≠ 0.
Prüfgröße: Standardfehler der mittleren Differenz s_d / √n = 5,0 / √16 = 5,0 / 4 = 1,25, also t = 3,2 / 1,25 = 2,56 bei df = n − 1 = 15, wobei n die Zahl der Paare ist.
Entscheidung: Aus der t-Tabelle bei df = 15 und α = 0,05 zweiseitig lautet der kritische Wert 2,131. Wegen 2,56 > 2,131 liegt die Prüfgröße im Ablehnbereich, H₀ wird verworfen: Die mittlere Veränderung ist signifikant von null verschieden.
Einordnung: Als Effektstärke eignet sich d = d̄ / s_d = 3,2 / 5,0 = 0,64, also ein mittlerer bis großer Effekt. Erst diese Angabe macht das Ergebnis inhaltlich beurteilbar – Signifikanz allein sagt nichts über die Größe der Veränderung.
Der typische Fehler ist die Behandlung der 32 Messwerte als zwei unabhängige Gruppen mit df = 30. Das verletzt die Unabhängigkeitsannahme und verschenkt zugleich Teststärke, weil die Paarung die Unterschiede zwischen Personen herausrechnet. Die Prüfgröße wird über die Differenzen gebildet, deshalb gilt df = n − 1 = 15 mit n als Zahl der Paare. Zu prüfen bleibt die Normalverteilung der Differenzen, nicht die der Rohwerte; bei starker Schiefe oder sehr kleinem n wäre der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test die Alternative. Eine sichere Aussage über Ursachen erlaubt das Vor-Nachher-Design ohne Kontrollgruppe im Übrigen nicht: Auch Übungs- oder Reifungseffekte kämen als Erklärung infrage.
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