.svg)
Statistik 1 ist in BWL, Psychologie, den Sozialwissenschaften und der Medizin Pflichtstoff, und der deskriptive Teil steht immer am Anfang. Bevor irgendein Test gerechnet wird, müssen die erhobenen Daten geordnet, zu Kennzahlen verdichtet und sinnvoll dargestellt werden. Genau das leistet die beschreibende Statistik: Sie beschreibt, was tatsächlich gemessen wurde – nicht mehr und nicht weniger. Der Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit gehört in die Inferenzstatistik und wird auf der Lernseite zu den Grundlagen der Hypothesentests behandelt.
Diese deskriptive Statistik Zusammenfassung geht die klausurrelevanten Blöcke in der Reihenfolge durch, in der sie aufeinander aufbauen: Grundbegriffe von der Grundgesamtheit bis zur Merkmalsausprägung, die vier Skalenniveaus und die Frage, was auf welchem Niveau überhaupt gerechnet werden darf, Häufigkeitsverteilungen mit Klassenbildung, die üblichen Diagrammtypen und ihre Eignung, Lagemaße und Streumaße, Verteilungsformen und Boxplot, Kovarianz und Korrelation, die einfache lineare Regression sowie Lorenzkurve und Gini-Koeffizient. Jede Formel steht mit einem kleinen, vollständig durchgerechneten Datensatz da, denn in der Statistik Klausur wird selten die Definition abgefragt, sondern die Rechnung an konkreten Zahlen.
Besonderes Gewicht liegt auf den Stellen, an denen regelmäßig Punkte verloren gehen: Der Median wird erst nach dem Sortieren abgelesen und ist bei gerader Anzahl das Mittel der beiden mittleren Werte. Die Stichprobenvarianz teilt durch n − 1, die Varianz einer vollständig erhobenen Grundgesamtheit durch n. Das Skalenniveau entscheidet, welches Lagemaß zulässig ist. Und ein Korrelationskoeffizient nahe null schließt nur einen linearen Zusammenhang aus, keinen beliebigen. Die Lernkarten und Übungsfragen unten prüfen genau diese Unterscheidungen. Du kannst alles direkt hier durcharbeiten – oder die Inhalte kostenfrei in deinen Learnboost Account übernehmen und dort mit Spaced Repetition, Lernplan und KI-Tutor weiterlernen.
Übernimm diese Inhalte kostenfrei in deinen Learnboost Account — dann arbeiten sie für dich weiter: Spaced Repetition bringt jede Karte zurück, kurz bevor du sie vergisst. So stehst du zur nächsten Klausur nicht wieder am Anfang.
Kostenlos starten · Keine Kreditkarte · Deine eigenen Unterlagen bleiben privat
Die deskriptive Statistik beschreibt einen vorliegenden Datensatz: ordnen, zu Kennzahlen verdichten, grafisch darstellen. Ob ein Befund darüber hinaus Bestand hat, beantwortet sie nicht.
Die Grundgesamtheit umfasst alle Objekte, über die eine Aussage gemacht werden soll, die Stichprobe eine Teilmenge davon. Das einzelne Objekt heißt statistische Einheit die untersuchte Eigenschaft Merkmal, der konkrete Wert Merkmalsausprägung: 1.200 BWL-Erstsemester als Grundgesamtheit, eine einzelne Studentin als Einheit, die wöchentliche Lernzeit als Merkmal, 9 Stunden als Ausprägung. Werden alle Einheiten erfasst, ist es eine Vollerhebung; die ungeordnete Werteliste heißt Urliste.
Die Abgrenzung ist klausurrelevant: Beschreiben, was erhoben wurde, ist deskriptive Statistik. Der Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit – Hypothesen, Fehler 1. und 2. Art, p-Wert, t-Test, Chi-Quadrat-Test, Konfidenzintervalle – ist Inferenzstatistik.
Das Skalenniveau entscheidet, welche Rechnungen zulässig sind.
Merkregel: Modus überall, Median ab ordinal, arithmetisches Mittel erst ab intervall; Intervall und Verhältnis heißen zusammen metrisch. Quer dazu steht diskret (Kinderzahl, Würfelaugen) gegen stetig (Körpergröße, Reaktionszeit); Geldbeträge gelten als quasi-stetig.
Die absolute Häufigkeit h(aⱼ) zählt das Auftreten einer Ausprägung, die relative ist f(aⱼ) = h(aⱼ)/n und summiert sich zu 1, die kumulierte addiert alles bis einschließlich aⱼ und ergibt die empirische Verteilungsfunktion. Beispiel, 20 Klausurnoten – Note 1: 2-mal, 2: 6-mal, 3: 7-mal, 4: 4-mal, 5: 1-mal. Relativ: 0,10 / 0,30 / 0,35 / 0,20 / 0,05; kumuliert: 0,10 / 0,40 / 0,75 / 0,95 / 1,00.
Bei vielen Ausprägungen bildet man lückenlose, überschneidungsfreie Klassen und schätzt den Mittelwert über die Klassenmitten. Im Histogramm ist die Fläche proportional zur Häufigkeit, die Säulenhöhe also die Häufigkeitsdichte = Häufigkeit / Klassenbreite: Die Klasse 10 bis unter 20 mit 30 Fällen hat die Dichte 3, die Klasse 20 bis unter 50 mit ebenfalls 30 Fällen nur die Dichte 1.
Säulen- und Balkendiagramme passen zu nominalen und ordinalen Merkmalen und zu diskreten Zähldaten. Das Kreisdiagramm zeigt Anteile an einem Ganzen bei wenigen Kategorien, das Histogramm klassierte metrische Daten mit aneinanderstoßenden Säulen. Der Boxplot eignet sich für Gruppenvergleiche, das Streudiagramm für zwei metrische Merkmale, das Liniendiagramm für Zeitreihen.
Das arithmetische Mittel ist x̄ = (1/n) · Σ xᵢ, für 2, 4, 4, 5, 9, 12 also 36/6 = 6. Die Summe der Abweichungen vom Mittelwert ist immer null, und jeder Wert geht voll ein – daher die Ausreißerempfindlichkeit.
Der Median x̃ halbiert die sortierte Reihe: bei ungerader Anzahl der mittlere Wert, bei gerader das Mittel der beiden mittleren. Für 2, 4, 4, 5, 9, 12 ist x̃ = (4 + 5)/2 = 4,5. Häufigster Klausurfehler: den mittleren Wert der Urliste ablesen, ohne zu sortieren.
Warum das zählt, zeigen Monatseinkommen von 2000, 2200, 2400, 2600, 2800 und 18000 Euro: x̄ = 5000 Euro, x̃ = 2500 Euro – fünf von sechs verdienen weniger als den Mittelwert. Der Median ist robust gegenüber Ausreißern, das arithmetische Mittel nicht; deshalb berichtet man bei Einkommen und Mieten den Median.
Der Modus ist die häufigste Ausprägung, oben die 4, das einzige Lagemaß für nominale Merkmale und nicht zwingend eindeutig. Quantile teilen die sortierte Reihe so, dass links vom p-Quantil der Anteil p der Werte liegt; Q1, Median und Q3 heißen Quartile. Übliche Regel: Ist n · p keine ganze Zahl, nimm die aufgerundete Position, sonst das Mittel der Positionen n · p und n · p + 1. Für 2, 4, 4, 5, 9, 12 folgt Q1 = 4 und Q3 = 9. Die Konventionen unterscheiden sich; nimm die der Vorlesung.
Beim gewichteten Mittel x̄ = Σ (wᵢ · xᵢ) / Σ wᵢ zählen die Werte unterschiedlich stark: Modulnoten 2,0 mit 6 CP, 3,0 mit 3 CP und 1,0 mit 3 CP ergeben (6 · 2 + 3 · 3 + 3 · 1)/12 = 2,0. Für Wachstumsraten gilt das geometrische Mittel der Wachstumsfaktoren, also die n-te Wurzel ihres Produkts: +100 % und danach −50 % ergeben √(2 · 0,5) = 1, mithin 0 % Wachstum, während das arithmetische Mittel der Raten fälschlich +25 % ausweisen würde.
Die Spannweite ist Maximum minus Minimum, oben 12 − 2 = 10, und nutzt nur zwei Werte. Der Interquartilsabstand IQR = Q3 − Q1 = 9 − 4 = 5 beschreibt die mittleren 50 % und ist robust. Die mittlere absolute Abweichung (1/n) · Σ |xᵢ − x̄| beträgt hier 18/6 = 3.
Zentral ist die Varianz: bei einer Stichprobe s² = (1/(n−1)) · Σ (xᵢ − x̄)², bei einer vollständig erhobenen Grundgesamtheit σ² = (1/n) · Σ (xᵢ − μ)². Für 2, 4, 4, 5, 9, 12 ist die Abweichungsquadratsumme 70; als Stichprobe gelesen s² = 70/5 = 14 und s ≈ 3,74, als Grundgesamtheit gelesen σ² = 70/6 ≈ 11,67 und σ ≈ 3,42. Schreib in der Klausur immer dazu, welche der beiden Größen du meinst.
Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und trägt wieder die Einheit der Daten. Der Variationskoeffizient v = s/x̄ ≈ 0,62 macht Streuungen vergleichbar, ist dimensionslos und verlangt eine Verhältnisskala mit positivem Mittelwert.
Bei einer symmetrischen eingipfligen Verteilung fallen Mittelwert, Median und Modus zusammen. Rechtsschief (linkssteil) heißt: Masse links, langer Ausläufer rechts; als Faustregel gilt Modus < Median < Mittelwert; im Einkommensbeispiel oben liegt x̄ entsprechend weit über x̃. Linksschief (rechtssteil) dreht die Reihenfolge um.
Der Boxplot zeichnet die Box von Q1 bis Q3 mit dem Median als Strich darin; die Boxlänge ist der IQR. Die Whisker reichen bis zum äußersten Wert innerhalb der Zäune Q1 − 1,5 · IQR und Q3 + 1,5 · IQR, alles darüber gilt als Ausreißer. Beispiel 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 16, 18, 40: Bei n = 11 sind Q1 = 7, x̃ = 11 und Q3 = 16, der IQR ist 9, die Zäune liegen bei −6,5 und 29,5. Die 40 ist ein Ausreißer, der obere Whisker endet bei 18.
Die Kovarianz sₓᵧ = (1/(n−1)) · Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) zeigt über ihr Vorzeichen die Richtung des Gleichlaufs zweier metrischer Merkmale; ihr Betrag hängt von den Einheiten ab. Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson normiert sie zu r = sₓᵧ / (sₓ · sᵧ) und liegt immer zwischen −1 und +1. Beispiel x = 1, 2, 3, 4, 5 und y = 2, 3, 5, 4, 6 mit x̄ = 3 und ȳ = 4: Die Produktsumme der Abweichungen ist 9, beide Abweichungsquadratsummen sind 10, also r = 9/√100 = 0,9.
Zwei Warnungen: Erstens misst r nur den linearen Zusammenhang: Für x = −2, −1, 0, 1, 2 und y = x², also 4, 1, 0, 1, 4, ist r = 0, obwohl y vollständig durch x bestimmt ist – deshalb gehört das Streudiagramm vor jede Rechnung. Zweitens ist Korrelation kein Kausalnachweis.
Die Rangkorrelation nach Spearman rechnet Pearson auf den Rängen, erfasst damit jeden monotonen Zusammenhang und ist ab ordinalem Niveau zulässig. Ohne Bindungen gilt rₛ = 1 − 6 · Σ dᵢ² / (n · (n² − 1)); die Ränge 1, 2, 3, 4, 5 gegen 1, 3, 2, 4, 5 ergeben Σ dᵢ² = 2 und rₛ = 0,9.
Zwei nominale Merkmale vergleicht man in einer Kontingenztafel: beobachtete gegen die unter Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten (Zeilensumme · Spaltensumme / n); die quadrierten Abweichungen relativ zur Erwartung ergeben χ². Beispiel 2×2 mit n = 100 und den Zellen 30, 20 sowie 20, 30: alle Randsummen 50, alle Erwartungswerte 25, also χ² = 4. Da χ² mit n wächst, normiert man mit Cramérs V = √(χ² / (n · min(Zeilen − 1, Spalten − 1))) = 0,2. Ob der Zusammenhang signifikant ist, klärt erst der Chi-Quadrat-Test.
Die Gerade ŷ = a + b · x wird nach der Methode der kleinsten Quadrate gelegt: b = Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ (xᵢ − x̄)² und a = ȳ − b · x̄. Für die Daten oben ist b = 9/10 = 0,9 und a = 4 − 0,9 · 3 = 1,3, also ŷ = 1,3 + 0,9 · x; die Gerade verläuft immer durch den Schwerpunkt (x̄ | ȳ). Das Bestimmtheitsmaß r² = 0,81 gibt den Anteil der erklärten Streuung von y an, hier 81 %. Außerhalb des beobachteten x-Bereichs ist jede Vorhersage Extrapolation; Kausalität begründet r² nicht.
Konzentration fragt, wie ungleich sich eine Merkmalssumme wie Einkommen oder Vermögen auf die Einheiten verteilt. Die Lorenzkurve trägt den kumulierten Anteil der aufsteigend sortierten Einheiten gegen den kumulierten Anteil der Merkmalssumme ab; Gleichverteilung ergibt die Diagonale. Der Gini-Koeffizient ist die doppelte Fläche zwischen Diagonale und Lorenzkurve. Für die Einkommen 1, 1, 2 und 4 beträgt er 0,3125; er liegt zwischen 0 und (n − 1)/n, hier 0,75, normiert rund 0,42.
Arbeite mit dieser Zusammenfassung weiter — kostenfrei in deinem Learnboost Account.
Zusammenfassung übernehmenFrage antippen, um die Antwort aufzudecken.
Die Grundgesamtheit umfasst alle Objekte, über die eine Aussage gemacht werden soll, die Stichprobe eine Teilmenge davon. Das einzelne Objekt ist die statistische Einheit (Merkmalsträger), die untersuchte Eigenschaft das Merkmal, der konkrete Wert die Merkmalsausprägung. Beispiel: Grundgesamtheit sind die 1.200 BWL-Erstsemester einer Hochschule, statistische Einheit ist eine einzelne Studentin, Merkmal die wöchentliche Lernzeit, Ausprägung 9 Stunden. Werden alle Einheiten erfasst, heißt das Vollerhebung, sonst Teilerhebung; die ungeordnete Werteliste ist die Urliste.
Die deskriptive Statistik beschreibt ausschließlich die erhobenen Daten: ordnen, verdichten, darstellen. Die Inferenzstatistik schließt von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit und arbeitet dafür mit Hypothesentests, Fehlern 1. und 2. Art, p-Werten und Konfidenzintervallen. Ein Stichprobenmittelwert von 9 Stunden beschreibt exakt die befragten Personen; ob er für die ganze Grundgesamtheit gilt, ist eine Frage der Inferenzstatistik.
Nominal: nur gleich oder ungleich, z. B. Studiengang oder Blutgruppe, zulässig sind Häufigkeiten und Modus. Ordinal: Rangordnung ohne interpretierbare Abstände, z. B. Schulnoten oder Zufriedenheitsstufen, zusätzlich Median und Quantile. Intervall: gleiche Abstände ohne absoluten Nullpunkt, z. B. Temperatur in Grad Celsius oder Kalenderjahr, zusätzlich arithmetisches Mittel und Varianz – Verhältnisse bleiben unzulässig, 20 °C sind nicht doppelt so warm wie 10 °C. Verhältnis: absoluter Nullpunkt, der echtes Nichtvorhandensein bedeutet, z. B. Alter, Einkommen, Gewicht, zusätzlich Verhältnisse, geometrisches Mittel und Variationskoeffizient. Merkregel: Modus überall, Median ab ordinal, arithmetisches Mittel erst ab intervall.
Die absolute Häufigkeit h(aⱼ) zählt, wie oft eine Ausprägung vorkommt. Die relative Häufigkeit ist f(aⱼ) = h(aⱼ)/n, liegt zwischen 0 und 1 und summiert sich über alle Ausprägungen zu 1. Die kumulierte Häufigkeit addiert alle Werte bis einschließlich aⱼ und ergibt die empirische Verteilungsfunktion; sie setzt mindestens ordinales Niveau voraus. Beispiel mit 20 Noten (Note 1: 2-mal, 2: 6-mal, 3: 7-mal, 4: 4-mal, 5: 1-mal): relative Häufigkeiten 0,10 / 0,30 / 0,35 / 0,20 / 0,05, kumuliert 0,10 / 0,40 / 0,75 / 0,95 / 1,00.
Klassen müssen lückenlos und überschneidungsfrei sein; man notiert Klassenbreite und Klassenmitte. Aus klassierten Daten schätzt man den Mittelwert über die Klassenmitten, etwa (20 · 5 + 30 · 15 + 30 · 35)/80 = 20 für die Klassen 0 bis unter 10, 10 bis unter 20 und 20 bis unter 50. Bei ungleich breiten Klassen ist im Histogramm die Fläche proportional zur Häufigkeit, deshalb ist die Säulenhöhe die Häufigkeitsdichte = Häufigkeit / Klassenbreite, hier 2, 3 und 1. Die dritte Klasse hat genauso viele Fälle wie die zweite, wird aber nur ein Drittel so hoch gezeichnet.
x̄ = (1/n) · Σ xᵢ. Für 2, 4, 4, 5, 9, 12 ergibt sich x̄ = 36/6 = 6. Die Summe der Abweichungen vom Mittelwert ist immer null, und jeder einzelne Wert geht voll ein – deshalb reagiert das arithmetische Mittel empfindlich auf Ausreißer. Es setzt mindestens Intervallskala voraus.
Zuerst sortieren. Bei ungerader Anzahl ist der Median x̃ der mittlere Wert, bei gerader Anzahl das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte. Für 2, 4, 4, 5, 9, 12 ist x̃ = (4 + 5)/2 = 4,5, für 3, 5, 8, 9, 12 ist x̃ = 8. Häufigster Klausurfehler: den mittleren Wert der Urliste ablesen, ohne vorher zu sortieren. Der Median ist ab ordinalem Niveau zulässig und robust gegenüber Ausreißern.
Der Modus (Modalwert) ist die häufigste Ausprägung, für 2, 4, 4, 5, 9, 12 also 4. Er ist das einzige Lagemaß, das auf nominalem Niveau zulässig ist, und muss nicht eindeutig sein: Bei zwei gleich häufigen Gipfeln spricht man von einer bimodalen Verteilung. Bei stetigen Merkmalen bestimmt man ihn aus der Klasse mit der höchsten Häufigkeitsdichte.
Das p-Quantil teilt die sortierte Reihe so, dass links davon der Anteil p der Werte liegt; Q1 (25 %), Median (50 %) und Q3 (75 %) sind die Quartile. Gängige Regel: Ist n · p keine ganze Zahl, nimmt man den Wert an der aufgerundeten Position; ist n · p ganzzahlig, das Mittel der Positionen n · p und n · p + 1. Für 2, 4, 4, 5, 9, 12 ist n · 0,25 = 1,5, also Position 2 und Q1 = 4; n · 0,75 = 4,5, also Position 5 und Q3 = 9. Es existieren mehrere Konventionen – in der Klausur die aus der Vorlesung nutzen und die verwendete Regel notieren.
Bei Wachstumsraten und allgemein bei multiplikativ verketteten Größen. Man bildet die n-te Wurzel aus dem Produkt der Wachstumsfaktoren. Beispiel: +25 % und danach +80 % ergeben Faktoren 1,25 und 1,80, also √(1,25 · 1,80) = √2,25 = 1,5 und damit 50 % durchschnittliches Wachstum pro Jahr; Probe: 100 · 1,5 · 1,5 = 225. Das arithmetische Mittel der Raten wäre hier 52,5 % und damit falsch. Voraussetzung ist Verhältnisskala mit positiven Faktoren.
Die Spannweite ist Maximum minus Minimum, für 2, 4, 4, 5, 9, 12 also 12 − 2 = 10; sie nutzt nur zwei Werte und ist maximal ausreißeranfällig. Der Interquartilsabstand IQR = Q3 − Q1 = 9 − 4 = 5 beschreibt die Breite der mittleren 50 % und ist robust. Die mittlere absolute Abweichung (1/n) · Σ |xᵢ − x̄| beträgt hier (4 + 2 + 2 + 1 + 3 + 6)/6 = 3; sie ist anschaulich, wegen der Betragsstriche aber rechnerisch unhandlich – deshalb dominiert die Varianz.
Bei einer Stichprobe gilt s² = (1/(n−1)) · Σ (xᵢ − x̄)², bei einer vollständig erhobenen Grundgesamtheit σ² = (1/n) · Σ (xᵢ − μ)². Die Standardabweichung ist jeweils die Wurzel daraus und hat wieder die Einheit der Daten. Beispiel 2, 4, 4, 5, 9, 12 mit x̄ = 6: Σ (xᵢ − x̄)² = 16 + 4 + 4 + 1 + 9 + 36 = 70. Als Stichprobe gelesen ist s² = 70/5 = 14 und s = √14 ≈ 3,74; als Grundgesamtheit gelesen ist σ² = 70/6 ≈ 11,67 und σ ≈ 3,42. In der Klausur immer dazuschreiben, welche der beiden Größen gemeint ist. Der Variationskoeffizient v = s/x̄ ≈ 3,74/6 ≈ 0,62 macht Streuungen unterschiedlicher Datensätze vergleichbar; er ist dimensionslos, verlangt aber eine Verhältnisskala mit positivem Mittelwert.
Die Box reicht von Q1 bis Q3, ihre Länge ist der Interquartilsabstand; der Median wird als Strich darin eingezeichnet. Die Whisker gehen bis zum kleinsten beziehungsweise größten Wert, der noch innerhalb der Zäune Q1 − 1,5 · IQR und Q3 + 1,5 · IQR liegt; Werte außerhalb werden einzeln als Ausreißer eingetragen. Beispiel 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 16, 18, 40: Q1 = 7, Median = 11, Q3 = 16, IQR = 9, Zäune bei −6,5 und 29,5 – die 40 ist ein Ausreißer, der obere Whisker endet bei 18.
Die Kovarianz sₓᵧ = (1/(n−1)) · Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) misst den gemeinsamen Gleichlauf zweier metrischer Merkmale: Ein positives Vorzeichen bedeutet, dass große x-Werte tendenziell mit großen y-Werten einhergehen, ein negatives das Gegenteil. Ihr Betrag hängt aber von den Einheiten ab und ist zwischen Datensätzen nicht vergleichbar. Erst die Normierung liefert r = sₓᵧ / (sₓ · sᵧ), gleichwertig r = Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ (xᵢ − x̄)² · Σ (yᵢ − ȳ)²), immer zwischen −1 und +1. Beispiel x = 1, 2, 3, 4, 5 und y = 2, 3, 5, 4, 6 mit x̄ = 3 und ȳ = 4: Produktsumme 9, beide Abweichungsquadratsummen 10, also r = 9/√100 = 0,9.
Wenn mindestens eines der Merkmale nur ordinal skaliert ist, der Zusammenhang monoton, aber nicht linear verläuft, oder Ausreißer die Pearson-Korrelation verzerren würden. Man ersetzt die Werte durch ihre Ränge und rechnet darauf die Pearson-Formel. Ohne Bindungen gilt rₛ = 1 − 6 · Σ dᵢ² / (n · (n² − 1)) mit dᵢ als Rangdifferenz. Beispiel: Ränge 1, 2, 3, 4, 5 gegen 1, 3, 2, 4, 5 ergeben Σ dᵢ² = 2 und rₛ = 1 − 12/120 = 0,9. Bei einem streng monoton steigenden, aber gekrümmten Verlauf ist rₛ = 1, während r kleiner als 1 bleibt.
Über eine Kontingenztafel. Man berechnet die unter Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten als Zeilensumme · Spaltensumme / n und summiert die quadrierten Abweichungen relativ zur Erwartung zum χ²-Wert. Beispiel: 2×2-Tafel mit n = 100 und den Zellen 30, 20 sowie 20, 30 – alle Randsummen 50, alle Erwartungswerte 25, also χ² = 4 · (25/25) = 4. Da χ² mit n wächst, normiert man, etwa mit Cramérs V = √(χ² / (n · min(Zeilen − 1, Spalten − 1))) = √(4/100) = 0,2, also ein schwacher Zusammenhang. Ob der Wert signifikant ist, klärt erst der Chi-Quadrat-Test und damit die Inferenzstatistik.
Die Gerade ŷ = a + b · x wird nach der Methode der kleinsten Quadrate so gelegt, dass die Summe der quadrierten senkrechten Abstände minimal ist. Es gilt b = Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ (xᵢ − x̄)² und a = ȳ − b · x̄. Für x = 1, 2, 3, 4, 5 und y = 2, 3, 5, 4, 6 ist b = 9/10 = 0,9 und a = 4 − 0,9 · 3 = 1,3, also ŷ = 1,3 + 0,9 · x. Die Gerade verläuft immer durch den Schwerpunkt (x̄ | ȳ). Das Bestimmtheitsmaß ist bei der einfachen linearen Regression r² = 0,9² = 0,81 und gibt den Anteil der erklärten Streuung von y an, hier 81 %.
Lerne diese Karten mit Spaced Repetition weiter — kostenfrei in deinem Learnboost Account.
Lernkarten übernehmenLösung:
Sortiert lautet die Reihe 3, 4, 5, 7, 9, 12. Bei gerader Anzahl ist der Median das Mittel der beiden mittleren Werte: x̃ = (5 + 7)/2 = 6.
Der Median wird immer an der sortierten Reihe abgelesen. Für n = 6 liegen die mittleren Positionen bei 3 und 4, also bei den Werten 5 und 7; ihr arithmetisches Mittel ist 6. Der Wert 7 entsteht, wenn man den mittleren Eintrag der unsortierten Urliste nimmt – ein klassischer Punktverlust. Der Wert 6,67 ist das arithmetische Mittel 40/6 und damit ein anderes Lagemaß, und 4,5 wäre das Mittel der Positionen 2 und 3.
Lösung:
x̄ = 35/5 = 7. Die quadrierten Abweichungen sind 16, 4, 0, 4 und 16, ihre Summe ist 40. Da es sich um eine Stichprobe handelt, wird durch n − 1 = 4 geteilt: s² = 40/4 = 10.
Die Stichprobenvarianz lautet s² = (1/(n−1)) · Σ (xᵢ − x̄)². Mit Σ (xᵢ − x̄)² = 40 und n − 1 = 4 ergibt sich 10. Der Wert 8 entsteht bei Division durch n = 5 und wäre die Varianz einer vollständig erhobenen Grundgesamtheit. Der Wert 40 ist nur die Abweichungsquadratsumme ohne Division, und 3,16 ist die Standardabweichung √10, nicht die Varianz.
Lösung:
Zutreffend sind die vier Aussagen zum Modus auf jedem Niveau, zum Median ab ordinal, zum arithmetischen Mittel ab intervall und zum Variationskoeffizienten auf Verhältnisskala.
Das Skalenniveau ergibt sich aus dem Merkmal, nicht aus der Kodierung: Studiengänge mit 1, 2 und 3 zu nummerieren, macht sie nicht ordinal, ein Median wäre dort bedeutungslos. Die Celsius-Skala hat gleiche Abstände, aber keinen absoluten Nullpunkt – Verhältnisaussagen sind deshalb unzulässig, 20 °C sind nicht doppelt so warm wie 10 °C. Der Variationskoeffizient v = s/x̄ ist nur sinnvoll, wenn ein echter Nullpunkt existiert und der Mittelwert positiv ist.
Lösung:
Sortiert: 2, 4, 4, 5, 7, 9, 12, 13.
Arithmetisches Mittel: x̄ = (2 + 4 + 4 + 5 + 7 + 9 + 12 + 13)/8 = 56/8 = 7 Minuten.
Median: n = 8 ist gerade, also das Mittel der Positionen 4 und 5: x̃ = (5 + 7)/2 = 6 Minuten.
Modus: der Wert 4, er kommt zweimal vor.
Spannweite: 13 − 2 = 11 Minuten.
Varianz: Die Abweichungen von x̄ = 7 sind −5, −3, −3, −2, 0, 2, 5, 6; quadriert 25, 9, 9, 4, 0, 4, 25, 36 mit der Summe 112. Da es sich um eine Stichprobe handelt, wird durch n − 1 = 7 geteilt: s² = 112/7 = 16 Minuten². Die Standardabweichung ist s = √16 = 4 Minuten.
Hinweis: Wären die acht Personen die vollständige Grundgesamtheit, würde man durch n = 8 teilen und erhielte σ² = 112/8 = 14 sowie σ ≈ 3,74.
Volle Punktzahl gibt es nur mit sortierter Reihe und benanntem Nenner. Der Median liegt bei gerader Anzahl zwischen den beiden mittleren Werten, hier zwischen 5 und 7. Mittelwert 7 und Median 6 fallen auseinander, weil die beiden hohen Werte 12 und 13 den Mittelwert nach oben ziehen – ein Hinweis auf eine leicht rechtsschiefe Verteilung. Die Stichprobenvarianz teilt durch n − 1, die Varianz einer vollständig erhobenen Grundgesamtheit durch n; wer das nicht kennzeichnet, verliert Punkte, selbst wenn die Zahl stimmt. Die Varianz trägt die quadrierte Einheit, die Standardabweichung wieder Minuten.
Lösung:
IQR = 17 − 8 = 9, also 1,5 · IQR = 13,5. Der obere Zaun liegt bei Q3 + 13,5 = 17 + 13,5 = 30,5; Werte darüber gelten als Ausreißer.
Die Zäune liegen bei Q1 − 1,5 · IQR und Q3 + 1,5 · IQR, hier also bei −5,5 und 30,5. Der Wert 26 entsteht, wenn man nur einen einfachen IQR addiert; 21,5, wenn man 1,5 · IQR fälschlich auf Q1 rechnet; 44, wenn man 1,5 · IQR gleich zweimal auf Q3 addiert. Beachte außerdem: Der obere Whisker im Boxplot endet nicht bei 30,5, sondern beim größten tatsächlich vorhandenen Wert innerhalb des Zauns.
Lösung:
Mittelwerte: x̄ = 30/5 = 6 und ȳ = 25/5 = 5.
Abweichungen x: −4, −2, 0, 2, 4 mit Σ (xᵢ − x̄)² = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40. Abweichungen y: −1, −2, 0, 1, 2 mit Σ (yᵢ − ȳ)² = 1 + 4 + 0 + 1 + 4 = 10.
Produktsumme: Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) = 4 + 4 + 0 + 2 + 8 = 18.
Korrelation: r = 18/√(40 · 10) = 18/20 = 0,9 – ein starker positiver linearer Zusammenhang.
Regression: b = 18/40 = 0,45 und a = ȳ − b · x̄ = 5 − 0,45 · 6 = 2,3, also ŷ = 2,3 + 0,45 · x. Pro zusätzlicher Lernstunde steigt die vorhergesagte Punktzahl um 0,45 Punkte.
Bestimmtheitsmaß: r² = 0,9² = 0,81. Das Modell erklärt 81 % der Streuung der Punktzahlen; 19 % bleiben unerklärt.
Der Rechenweg über Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) und die beiden Abweichungsquadratsummen ist am wenigsten fehleranfällig, weil sich der Nenner n − 1 in r herauskürzt. Die Regressionsgerade verläuft immer durch den Schwerpunkt (6 | 5) – eine schnelle Probe: 2,3 + 0,45 · 6 = 5. Bei der Interpretation gehören zwei Einschränkungen dazu: r² beschreibt nur die erklärte Streuung im beobachteten Bereich und begründet keine Kausalität, und für x-Werte außerhalb von 2 bis 10 ist jede Vorhersage Extrapolation ohne Datengrundlage.
Lösung:
Zutreffend sind die Beschränkung von r auf lineare Zusammenhänge, das Beispiel mit r = 0 trotz perfekter quadratischer Abhängigkeit, die Eigenschaften der Spearman-Rangkorrelation und der Verlauf der Regressionsgeraden durch den Schwerpunkt.
Korrelation ist kein Kausalnachweis: Der Zusammenhang kann von einer dritten Variablen erzeugt sein, in umgekehrter Richtung wirken oder zufällig entstehen. Die Kovarianz trägt die Einheiten beider Merkmale und ändert ihren Betrag schon dann, wenn man von Metern auf Zentimeter umrechnet – erst die Normierung mit sₓ · sᵧ macht Datensätze vergleichbar. Das Beispiel mit y = x² zeigt, warum vor jeder Korrelationsrechnung das Streudiagramm gehört: Die Abweichungsprodukte heben sich exakt auf, r wird null, obwohl y vollständig durch x bestimmt ist.
Lösung:
Die Wachstumsfaktoren sind 1,25 und 1,80. Das geometrische Mittel ist √(1,25 · 1,80) = √2,25 = 1,5, also 50 % pro Jahr. Probe: 100 · 1,5 · 1,5 = 225, und 100 · 1,25 · 1,80 = 225.
Bei Wachstumsraten ist das geometrische Mittel der Wachstumsfaktoren zuständig: die n-te Wurzel aus ihrem Produkt. Der Wert 52,5 % ist das arithmetische Mittel der Raten und überschätzt das Wachstum, weil es die Verkettung ignoriert – die Probe scheitert, denn 100 · 1,525² ergibt rund 232,6 statt 225. Der Wert 125 % ist das Gesamtwachstum über beide Jahre und keine Jahresrate, und 12,5 % entsteht, wenn man das Produkt der Faktoren halbiert, statt die Wurzel zu ziehen.
Lösung:
Zutreffend sind die berechneten Werte von 5000 Euro und 2500 Euro, die Einordnung als rechtsschiefe Verteilung, die höhere Aussagekraft des Medians und die Feststellung, dass fünf von sechs Personen unter dem Mittelwert liegen.
Die Summe beträgt 30000 Euro, also x̄ = 5000 Euro; sortiert liegen die mittleren Werte bei 2400 und 2600, also x̃ = 2500 Euro. Genau diese Lücke macht die Rechtsschiefe sichtbar: Ein einzelner hoher Wert zieht den Mittelwert, lässt den Median aber unberührt – bei eingipfligen rechtsschiefen Verteilungen gilt als Faustregel Modus < Median < Mittelwert. Aus dem Mittelwert folgt keine Halbierung der Gruppe – das leistet definitionsgemäß nur der Median. Und die Spannweite ist mit 16000 Euro das ausreißeranfälligste Streuungsmaß überhaupt, weil sie ausschließlich aus Minimum und Maximum gebildet wird; robust sind stattdessen der Interquartilsabstand und der Median.
Lösung:
Relative Häufigkeiten: Wert 2: 3/25 = 0,12; Wert 3: 7/25 = 0,28; Wert 4: 9/25 = 0,36; Wert 5: 4/25 = 0,16; Wert 6: 2/25 = 0,08. Summe 1,00.
Kumulierte relative Häufigkeiten: 0,12; 0,40; 0,76; 0,92; 1,00.
Modus: 4 Module, weil dieser Wert mit 9 Nennungen am häufigsten vorkommt.
Median: n = 25 ist ungerade, gesucht ist der 13. Wert der sortierten Reihe. Bis Wert 3 sind erst 10 Fälle erreicht, bis Wert 4 bereits 19 – der Median ist 4.
Arithmetisches Mittel: x̄ = (2 · 3 + 3 · 7 + 4 · 9 + 5 · 4 + 6 · 2)/25 = (6 + 21 + 36 + 20 + 12)/25 = 95/25 = 3,8 Module.
Stichprobenvarianz: Σ hⱼ · (xⱼ − x̄)² = 3 · 3,24 + 7 · 0,64 + 9 · 0,04 + 4 · 1,44 + 2 · 4,84 = 9,72 + 4,48 + 0,36 + 5,76 + 9,68 = 30. Geteilt durch n − 1 = 24 ergibt s² = 1,25 und s ≈ 1,12 Module.
Der Mittelwert aus einer Häufigkeitsverteilung ist ein gewichtetes Mittel: Jede Ausprägung wird mit ihrer absoluten Häufigkeit multipliziert und durch n geteilt. Für den Median sucht man die Position (n + 1)/2 = 13 in den kumulierten Häufigkeiten – ein Vorgehen, das auch dann trägt, wenn die Urliste gar nicht ausgeschrieben wird. Bei der Varianz gilt dieselbe Gewichtung, und weil es sich um eine Stichprobe handelt, wird durch n − 1 = 24 geteilt; bei einer vollständig erhobenen Grundgesamtheit wären es 25 und damit σ² = 1,2. Dass Modus und Median hier beide 4 sind, der Mittelwert mit 3,8 aber leicht darunter liegt, deutet auf eine schwach linksschiefe Verteilung hin.
Übe diese Probeklausur interaktiv — kostenfrei in deinem Learnboost Account.
Probeklausur übernehmenAlles auf dieser Seite kannst du kostenfrei in deinen Learnboost Account übernehmen — und dort deutlich mehr daraus machen:
Bessere Noten beginnen bei Learnboost.
Erstellt von Learnboost-Redaktion. KI-gestützt erstelltes Originalwerk, redaktionell geprüft.
Inhalte melden: content@learnboost.tech
