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Mechanik ist das erste große Kapitel jeder Physik-1-Vorlesung und zugleich das Fundament für Thermodynamik, Elektrodynamik und Technische Mechanik. Wer hier sauber arbeitet, spart später Zeit. Der wichtigste Schnitt verläuft zwischen Kinematik und Dynamik: Die Kinematik beschreibt eine Bewegung – wo ist der Körper, wie schnell ist er, wie stark wird er beschleunigt. Die Dynamik fragt nach der Ursache und bringt Kräfte ins Spiel. Ein großer Teil der Klausurfehler entsteht dort, wo diese beiden Ebenen vermischt werden.
Diese Mechanik Zusammenfassung geht die klausurrelevanten Blöcke in genau dieser Reihenfolge durch: Größen und Einheiten, Skalare und vektorielle Größen, Kinematik mit gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung, freier Fall und Würfe, die drei Newtonschen Axiome, die typischen Kräfte samt Reibung und Federkraft, die Kräftezerlegung an der schiefen Ebene, Arbeit, Energie und Leistung, Impuls und Stöße, Kreis- und Drehbewegung, Gravitation sowie die harmonische Schwingung. Jede Formel steht einzeilig in gewöhnlichen Zeichen – F = m · a, E_kin = ½ · m · v², s(t) = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t² – und zu jedem Block gehört eine durchgerechnete Aufgabe mit Einheiten, denn in der Physik Klausur wird die Anwendung geprüft, nicht das Aufsagen.
Besonderes Gewicht liegt auf den Stellen, an denen regelmäßig Punkte verloren gehen: Actio und Reactio greifen an verschiedenen Körpern an und heben sich deshalb nicht auf; die Zentripetalkraft ist keine eigene Kraftart, sondern die Rolle, die Seil, Reibung oder Gravitation übernehmen; beim vollkommen unelastischen Stoß bleibt der Impuls erhalten, die kinetische Energie nicht; und die Haftreibung ist eine Ungleichung, die nur so groß wird, wie das Gleichgewicht es verlangt. Die Lernkarten und Übungsfragen weiter unten prüfen genau diese Unterscheidungen. Du kannst alles direkt hier durcharbeiten – oder die Inhalte kostenfrei in deinen Learnboost Account übernehmen und dort mit Spaced Repetition, Lernplan und KI-Tutor weiterlernen.
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Die Kinematik beschreibt Bewegungen, die Dynamik erklärt sie über Kräfte. Schreibweise hier: Buchstabenindizes mit Unterstrich (E_kin, E_pot, F_G, F_N, F_R), Zahlenindizes tiefgestellt (v₀, s₀, m₁), Potenzen hochgestellt (v², t², m/s²), griechische Buchstaben direkt (ω, α, μ, Δ). Vektorpfeile fehlen hier; gerechnet wird mit Beträgen und Komponenten.
Die Mechanik kommt mit drei SI-Basisgrößen aus: Meter (m), Kilogramm (kg), Sekunde (s). Alles Weitere ist daraus zusammengesetzt: 1 N = 1 kg · m/s², 1 J = 1 N · m = 1 kg · m²/s², 1 W = 1 J/s. Die Einheitenkontrolle am Ende jeder Rechnung ist die billigste Fehlersuche der Klausur.
Skalare haben nur einen Betrag (Masse, Zeit, Arbeit, Energie, Leistung), vektorielle Größen zusätzlich eine Richtung (Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Impuls). Eine Kraft F unter dem Winkel α zur x-Achse hat die Komponenten F_x = F · cos α und F_y = F · sin α, ihr Betrag ist F = √(F_x² + F_y²). Kräfte addiert man komponentenweise, nie als bloße Zahlen.
Mittlere Geschwindigkeit v = Δs/Δt, Beschleunigung a = Δv/Δt in m/s². Gleichförmige Bewegung (a = 0): s(t) = s₀ + v · t. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v(t) = v₀ + a · t und s(t) = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t², zeitfrei v² = v₀² + 2 · a · (s − s₀).
Beispiel: Ein Auto beschleunigt aus dem Stand mit a = 2,5 m/s²; nach t = 8 s ist v = 20 m/s und s = 80 m. Für den Bremsweg gilt s = v₀²/(2 · a) – aus 20 m/s mit 5,0 m/s² sind das 40 m in 4,0 s.
Beim freien Fall wirkt nur die Gewichtskraft: Aus m · a = m · g folgt a = g – die Masse kürzt sich heraus, ohne Luftwiderstand fallen alle Körper gleich schnell. Mit g = 9,81 m/s² gilt h = ½ · g · t² und v = √(2 · g · h); aus h = 20 m folgen t = 2,02 s und v = 19,8 m/s.
Der waagerechte Wurf überlagert x(t) = v₀ · t und y(t) = ½ · g · t²; die Fallzeit hängt nur von der Höhe ab, nicht von v₀. Beim schiefen Wurf bleibt v₀ · cos α konstant, während v₀ · sin α von g abgebremst wird: Steighöhe h = (v₀ · sin α)²/(2 · g), Wurfweite w = v₀² · sin(2α)/g, maximal bei α = 45°. Für v₀ = 20 m/s und α = 30° sind das 5,1 m und 35,3 m.
Trägheitsprinzip: Ohne resultierende Kraft bleibt ein Körper in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung – gültig nur im Inertialsystem. Aktionsprinzip: F = m · a mit der resultierenden Kraft F; Kraft und Beschleunigung zeigen in dieselbe Richtung. Wechselwirkungsprinzip: Übt A auf B eine Kraft aus, übt B auf A eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft aus.
Das häufigste Missverständnis: Actio und Reactio greifen an verschiedenen Körpern an und heben sich deshalb nie auf. Ein Buch liegt still, weil Gewichtskraft und Normalkraft beide am Buch angreifen – ein Kräftegleichgewicht, nicht das dritte Axiom. Die Reaktionskraft zur Gewichtskraft ist die Anziehung, die das Buch auf die Erde ausübt.
Die Gewichtskraft F_G = m · g beträgt für 75 kg rund 736 N; die Normalkraft F_N steht senkrecht auf der Unterlage und ist auf waagerechter Fläche gleich m · g.
Reibung: Gleitreibung F_R = μ_G · F_N, entgegen der Bewegung. Die Haftreibung ist dagegen eine Ungleichung: F_H ≤ μ_H · F_N – sie nimmt nur den Wert an, den das Gleichgewicht verlangt, μ_H · F_N ist bloß die Obergrenze. Bei einer 20-kg-Kiste mit μ_H = 0,50 liegt diese Grenze bei 98,1 N: Ziehst du mit 80 N, hält die Haftreibung mit genau 80 N dagegen.
Federkraft: Das Hookesche Gesetz F = D · s gilt im elastischen Bereich, D ist die Federkonstante in N/m. Für D = 200 N/m und s = 0,10 m ist F = 20 N, die Spannarbeit W = ½ · D · s² = 1,0 J.
Auf einer um α geneigten Ebene zerfällt die Gewichtskraft in die Hangabtriebskraft F_Hang = m · g · sin α parallel zur Ebene und die Normalkraft F_N = m · g · cos α senkrecht dazu. Für m = 10 kg und α = 30°: F_G = 98,1 N, F_Hang = 49,1 N, F_N = 85,0 N. Reibungsfrei ist a = g · sin α = 4,91 m/s², massenunabhängig; mit μ_G = 0,20 ist F_R = 17,0 N und a = 3,21 m/s². Rutschen beginnt, sobald tan α > μ_H wird.
Arbeit ist Kraft mal Weg in Kraftrichtung: W = F · s · cos φ; eine Kraft senkrecht zur Bewegung verrichtet keine Arbeit. Standardformen sind Hubarbeit W = m · g · h (20 kg um 2,0 m: 392,4 J), Beschleunigungsarbeit W = ½ · m · v² und Spannarbeit W = ½ · D · s². Dazu gehören E_pot = m · g · h und E_kin = ½ · m · v².
Der Energieerhaltungssatz: Ohne Reibung ist E_kin + E_pot konstant. Ein Wagen, der aus h = 5,0 m herabrollt, erreicht 9,9 m/s – unabhängig von Masse und Bahnform. Leistung ist P = W/t, bei konstanter Kraft auch P = F · v. Der Wirkungsgrad η = P_nutz/P_zu bleibt immer unter 1, weil Reibung Energie in Wärme umwandelt.
Der Impuls p = m · v ist eine vektorielle Größe mit der Einheit kg · m/s = N · s; allgemeiner als F = m · a ist F = Δp/Δt. Ohne äußere Kräfte bleibt die Impulssumme erhalten.
Beim vollkommen unelastischen Stoß bewegen sich die Körper gemeinsam weiter: Der Impuls bleibt erhalten, die kinetische Energie nicht – ein Teil geht in Verformung, Wärme und Schall. Trifft m₁ = 2,0 kg mit v₁ = 3,0 m/s auf ruhende m₂ = 1,0 kg, ist der Gesamtimpuls 6,0 kg · m/s, die gemeinsame Geschwindigkeit 2,0 m/s, und E_kin sinkt von 9,0 J auf 6,0 J. Beim elastischen Stoß bleiben beide Größen erhalten: v₁' = ((m₁ − m₂) · v₁ + 2 · m₂ · v₂)/(m₁ + m₂), für v₂' vertauscht man die Indizes. Bei gleichen Massen tauschen die Körper ihre Geschwindigkeiten.
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ändert sich nur die Richtung der Geschwindigkeit – es liegt trotzdem eine Beschleunigung vor. Winkelgeschwindigkeit ω = 2π/T = 2π · f in 1/s, Bahngeschwindigkeit v = ω · r, Zentripetalbeschleunigung a_z = v²/r = ω² · r zum Mittelpunkt hin, Zentripetalkraft F_Z = m · v²/r. Sie ist keine eigene Kraftart, sondern die Rolle, die eine real wirkende Kraft übernimmt: das Seil beim Hammerwurf, die Haftreibung in der Autokurve, die Gravitation beim Satelliten. Die „Zentrifugalkraft“ ist eine Scheinkraft und existiert nur im mitrotierenden Bezugssystem.
Eine Kurvenfahrt mit v = 20 m/s und r = 50 m verlangt a_z = 8,0 m/s²; bei μ_H = 0,80 ermöglicht die Haftreibung höchstens μ_H · g = 7,85 m/s² – das Auto rutscht nach außen.
Das Drehmoment ist M = F · r für eine Kraft senkrecht zum Hebelarm, allgemein M = F · r · sin φ, Einheit N · m. Daraus folgt das Hebelgesetz F₁ · r₁ = F₂ · r₂.
Das Trägheitsmoment J = Σ m_i · r_i² in kg · m² ist das Drehanalogon zur Masse und hängt davon ab, wie weit die Masse von der Achse entfernt liegt (Vollzylinder: J = ½ · m · r²). Damit gilt M = J · α mit der Winkelbeschleunigung α in 1/s², der Drehimpuls ist L = J · ω in kg · m²/s und die Rotationsenergie E_rot = ½ · J · ω². Ohne äußeres Drehmoment bleibt L erhalten – deshalb dreht sich eine Eiskunstläuferin schneller, sobald sie die Arme anlegt und J kleiner wird.
Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet F = G · m₁ · m₂/r² mit G = 6,674 · 10⁻¹¹ N · m²/kg²; r ist der Abstand der Massenmittelpunkte. Die Kraft nimmt quadratisch ab – doppelter Abstand bedeutet ein Viertel der Kraft. Aus Erdmasse und Erdradius folgt g = G · M/R² = 9,8 m/s². Masse und Gewichtskraft sind nicht dasselbe: 75 kg erzeugen auf der Erde 736 N, auf dem Mond mit g = 1,62 m/s² nur 122 N – die Masse bleibt 75 kg.
Eine harmonische Schwingung entsteht, wenn die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist; die Auslenkung folgt y(t) = A · sin(ω · t) mit ω = 2π/T. Beim Federpendel ist T = 2π · √(m/D). Beim Fadenpendel ist T = 2π · √(l/g) – die Masse taucht nicht auf; l = 1,0 m liefert T = 2,0 s, ob 100 g oder 1 kg daran schwingen. Beide Formeln gelten nur für kleine Auslenkungen.
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Drei Basisgrößen genügen: Länge in Meter (m), Masse in Kilogramm (kg), Zeit in Sekunde (s). Daraus folgen die abgeleiteten Einheiten: 1 N = 1 kg · m/s² für die Kraft, 1 J = 1 N · m = 1 kg · m²/s² für Arbeit und Energie, 1 W = 1 J/s = 1 kg · m²/s³ für die Leistung. Schreibweise: Buchstabenindizes mit Unterstrich (E_kin, E_pot, F_G, F_N, F_R), Zahlenindizes tiefgestellt (v₀, s₀, m₁, m₂), Potenzen hochgestellt (v², t², m/s²). Die Einheitenkontrolle am Ende jeder Rechnung ist die schnellste Fehlersuche in der Klausur.
Skalare Größen haben nur einen Betrag: Masse, Zeit, Weglänge, Arbeit, Energie, Leistung. Vektorielle Größen haben zusätzlich eine Richtung: Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Impuls. Ohne Pfeile rechnet man mit Beträgen und Komponenten: Eine Kraft F unter dem Winkel α zur x-Achse hat F_x = F · cos α und F_y = F · sin α, der Betrag ist F = √(F_x² + F_y²). Kräfte werden komponentenweise addiert – 3 N und 4 N ergeben nur dann 5 N, wenn sie senkrecht aufeinander stehen, und 7 N nur bei gleicher Richtung.
Gleichförmig (a = 0): s(t) = s₀ + v · t, die Geschwindigkeit bleibt konstant. Gleichmäßig beschleunigt (a konstant): v(t) = v₀ + a · t und s(t) = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t². Zeitfreie Form: v² = v₀² + 2 · a · (s − s₀). Beispiel aus dem Stand mit a = 2,5 m/s²: nach t = 8 s ist v = 2,5 m/s² · 8 s = 20 m/s und s = ½ · 2,5 m/s² · (8 s)² = 80 m. Einheitenprobe: m/s² · s = m/s und m/s² · s² = m.
Aus F_G = m · g und F = m · a folgt m · a = m · g, also a = g. Die Masse kürzt sich heraus – die Fallbeschleunigung ist ohne Luftwiderstand massenunabhängig. Mit g = 9,81 m/s² gilt h = ½ · g · t² und v = √(2 · g · h). Für h = 20 m ist t = √(2 · 20 m / 9,81 m/s²) = √4,08 s² = 2,02 s und v = √(2 · 9,81 m/s² · 20 m) = 19,8 m/s. Dass Feder und Kugel in Luft unterschiedlich schnell fallen, liegt am Luftwiderstand, nicht an der Masse.
Man überlagert zwei unabhängige Bewegungen: waagerecht gleichförmig mit x(t) = v₀ · t, senkrecht freier Fall mit y(t) = ½ · g · t². Die Fallzeit hängt nur von der Höhe ab, nicht von v₀ – ein waagerecht abgeschossener und ein gleichzeitig fallen gelassener Körper landen zusammen. Beispiel: Eine Kugel verlässt einen 1,2 m hohen Tisch mit v₀ = 3,0 m/s. Fallzeit t = √(2 · 1,2 m / 9,81 m/s²) = 0,49 s, Wurfweite x = 3,0 m/s · 0,49 s = 1,5 m. Die Aufprallgeschwindigkeit setzt sich aus v_x = 3,0 m/s und v_y = g · t = 4,9 m/s zusammen.
Zerlege die Anfangsgeschwindigkeit in v₀ · cos α (waagerecht, bleibt konstant) und v₀ · sin α (senkrecht, wird von g abgebremst). Steigzeit t_s = v₀ · sin α / g, Steighöhe h = (v₀ · sin α)²/(2 · g), Wurfweite w = v₀² · sin(2α)/g. Die Weite ist bei α = 45° maximal; 30° und 60° liefern dieselbe Weite. Beispiel v₀ = 20 m/s, α = 30°: v₀ · sin α = 10 m/s, h = (10 m/s)²/(2 · 9,81 m/s²) = 5,1 m, w = (20 m/s)² · sin 60° / 9,81 m/s² = 35,3 m.
Erstens Trägheitsprinzip: Ohne resultierende Kraft bleibt ein Körper in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung – gültig nur im Inertialsystem. Zweitens Aktionsprinzip: F = m · a, wobei F die resultierende Kraft ist; Kraft und Beschleunigung sind vektorielle Größen und zeigen in dieselbe Richtung. Für m = 1200 kg und a = 2,5 m/s² ist F = 3000 N. Drittens Wechselwirkungsprinzip: Übt Körper A auf B eine Kraft aus, übt B auf A eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft aus.
Weil sie an verschiedenen Körpern angreifen. Addieren darf man nur Kräfte, die am selben Körper wirken. Beispiel Buch auf dem Tisch: Gewichtskraft und Normalkraft greifen beide am Buch an – das ist ein Kräftegleichgewicht und hat mit dem dritten Axiom nichts zu tun. Die Reaktionskraft zur Gewichtskraft ist die Anziehung, die das Buch auf die Erde ausübt; die Reaktionskraft zur Normalkraft ist der Druck des Buches auf den Tisch. Würden sich Actio und Reactio aufheben, ließe sich überhaupt nichts beschleunigen.
Gleitreibung: F_R = μ_G · F_N, entgegen der Bewegungsrichtung, in guter Näherung unabhängig von Geschwindigkeit und Auflagefläche. Haftreibung: F_H ≤ μ_H · F_N. Sie ist keine feste Zahl, sondern nimmt genau den Wert an, den das Gleichgewicht verlangt; μ_H · F_N ist nur die Obergrenze. Meist ist μ_H größer als μ_G. Beispiel m = 20 kg, F_N = 196,2 N, μ_H = 0,50: Die Grenze liegt bei 98,1 N. Ziehst du mit 80 N, beträgt die Haftreibungskraft 80 N und die Kiste bleibt liegen – nicht 98,1 N.
In die Hangabtriebskraft F_Hang = m · g · sin α parallel zur Ebene und die Normalkraft F_N = m · g · cos α senkrecht dazu. Beispiel m = 10 kg, α = 30°: F_G = 98,1 N, F_Hang = 98,1 N · 0,500 = 49,1 N, F_N = 98,1 N · 0,866 = 85,0 N. Reibungsfrei ist a = g · sin α = 4,91 m/s², unabhängig von der Masse. Mit μ_G = 0,20 ist F_R = 17,0 N und a = (49,1 N − 17,0 N)/10 kg = 3,21 m/s². Zu rutschen beginnt der Körper, sobald tan α größer als μ_H wird.
F = D · s: Die Federkraft wächst proportional zur Auslenkung, D ist die Federkonstante in N/m. Das gilt nur im elastischen Bereich. Für D = 200 N/m und s = 0,10 m ist F = 200 N/m · 0,10 m = 20 N. Die Spannarbeit beträgt W = ½ · D · s² = ½ · 200 N/m · (0,10 m)² = 1,0 J. Der Faktor ½ steht dort, weil die Kraft beim Spannen linear von 0 auf 20 N wächst – gerechnet wird mit der mittleren Kraft von 10 N über 0,10 m. Einheitenprobe: N/m · m² = N · m = J.
Allgemein W = F · s · cos φ mit dem Winkel φ zwischen Kraft und Weg; eine Kraft senkrecht zur Bewegung verrichtet keine Arbeit. Hubarbeit W = m · g · h – 20 kg um 2,0 m sind 20 kg · 9,81 m/s² · 2,0 m = 392,4 J. Beschleunigungsarbeit W = ½ · m · v² – 1000 kg von 0 auf 20 m/s sind 200 000 J = 200 kJ. Spannarbeit W = ½ · D · s². Leistung ist Arbeit pro Zeit: P = W/t, bei konstanter Kraft auch P = F · v. Die 392,4 J in 4,0 s ergeben P = 98,1 W.
Ohne Reibung ist die Summe E_kin + E_pot konstant: ½ · m · v² + m · g · h hat an jeder Stelle der Bahn denselben Wert. Für einen Körper, der aus h = 5,0 m herabrollt, folgt v = √(2 · 9,81 m/s² · 5,0 m) = 9,9 m/s – unabhängig von Masse und Bahnform. Der Wirkungsgrad η = P_nutz/P_zu (gleichwertig W_nutz/W_zu) ist stets kleiner als 1, weil Reibung Energie in Wärme umwandelt. Beispiel Aufzug: 500 kg um 10 m in 20 s ergibt P_nutz = 2453 W; bei 3,0 kW Aufnahme ist η = 0,82, also 82 %.
p = m · v, eine vektorielle Größe mit der Einheit kg · m/s = N · s. Ohne äußere Kräfte bleibt die Impulssumme erhalten. Beim elastischen Stoß bleiben Impuls und kinetische Energie erhalten; bei gleichen Massen tauschen die Körper ihre Geschwindigkeiten. Beim vollkommen unelastischen Stoß bewegen sich beide gemeinsam weiter: Der Impuls bleibt erhalten, die kinetische Energie nicht – ein Teil geht in Verformung, Wärme und Schall. Beispiel 2,0 kg mit 3,0 m/s auf 1,0 kg in Ruhe: p = 6,0 kg · m/s, gemeinsame Geschwindigkeit 2,0 m/s, E_kin fällt von 9,0 J auf 6,0 J.
ω = 2π/T = 2π · f in 1/s, v = ω · r in m/s, a_z = v²/r = ω² · r in m/s², immer zum Kreismittelpunkt gerichtet. Die Zentripetalkraft ist F_Z = m · v²/r = m · ω² · r; sie ist keine eigene Kraftart, sondern die Rolle einer real wirkenden Kraft. Beispiel Karussell mit r = 4,0 m und T = 8,0 s: ω = 2π/8,0 s = 0,785 1/s, v = 0,785 1/s · 4,0 m = 3,14 m/s, a_z = (3,14 m/s)²/4,0 m = 2,47 m/s². Auf 60 kg wirkt F_Z = 60 kg · 2,47 m/s² = 148 N.
Drehmoment M = F · r für eine Kraft senkrecht zum Hebelarm, allgemein M = F · r · sin φ, Einheit N · m. Trägheitsmoment J = Σ m_i · r_i² in kg · m² ist das Drehanalogon zur Masse (Vollzylinder um die Symmetrieachse: J = ½ · m · r²). Damit gilt M = J · α mit der Winkelbeschleunigung α in 1/s², der Drehimpuls ist L = J · ω in kg · m²/s, die Rotationsenergie E_rot = ½ · J · ω². Hebelgesetz F₁ · r₁ = F₂ · r₂: Eine Wippe mit 300 N bei 1,5 m ist im Gleichgewicht, wenn bei 2,0 m eine Kraft von 225 N wirkt, denn beide Drehmomente betragen 450 N · m.
F = G · m₁ · m₂/r² mit G = 6,674 · 10⁻¹¹ N · m²/kg²; r ist der Abstand der Massenmittelpunkte. Die Kraft nimmt quadratisch ab: doppelter Abstand bedeutet ein Viertel der Kraft. Mit Erdmasse 5,97 · 10²⁴ kg und Erdradius 6,37 · 10⁶ m folgt g = G · M/R² = 9,8 m/s². Die Masse in kg ist ortsunabhängig, die Gewichtskraft F_G = m · g in N nicht: 75 kg erzeugen auf der Erde 736 N, auf dem Mond mit g = 1,62 m/s² nur 122 N – die Masse bleibt 75 kg.
Federpendel: T = 2π · √(m/D). Für m = 0,50 kg und D = 50 N/m ist m/D = 0,010 s², also T = 2π · 0,10 s = 0,63 s und f = 1/T = 1,6 Hz. Einheitenprobe: kg/(N/m) = kg · m/N = s². Fadenpendel: T = 2π · √(l/g) – die Masse taucht in der Formel nicht auf. Ein Pendel mit l = 1,0 m hat T = 2,0 s, ob 100 g oder 1 kg daran schwingen. Beide Formeln gelten nur für kleine Auslenkungen; die Auslenkung folgt y(t) = A · sin(ω · t) mit ω = 2π/T.
Lerne diese Karten mit Spaced Repetition weiter — kostenfrei in deinem Learnboost Account.
Lernkarten übernehmenLösung:
Beschleunigung: a = v/t = 9,0 m/s / 6,0 s = 1,5 m/s². Weg: s = ½ · a · t² = ½ · 1,5 m/s² · (6,0 s)² = 27 m. Kontrolle über die mittlere Geschwindigkeit: (0 + 9,0 m/s)/2 · 6,0 s = 27 m.
Der Weg folgt aus s = ½ · a · t² mit a = v/t = 1,5 m/s². Einheitenprobe: m/s² · s² = m. Wer 54 m erhält, hat mit der Endgeschwindigkeit gleichförmig gerechnet (9,0 m/s · 6,0 s) und dabei übersehen, dass der Radfahrer die meiste Zeit langsamer war. Wer 4,5 m erhält, hat t statt t² eingesetzt.
Lösung:
Actio und Reactio greifen an verschiedenen Körpern an: Die eine Kraft wirkt auf den Wagen, die andere auf das Pferd. Addieren darf man nur Kräfte am selben Körper. Am Wagen wirken die Zugkraft nach vorn und die Reibung nach hinten – überwiegt die Zugkraft, wird der Wagen beschleunigt.
Das dritte Axiom gilt immer und für beliebige Bewegungszustände; die beiden Kräfte sind zu jedem Zeitpunkt gleich groß. Genau deshalb ist die falsche Erklärung mit dem „kurzzeitig stärkeren Zug“ nicht haltbar. Der entscheidende Punkt ist der Angriffspunkt: Kräfte an verschiedenen Körpern können sich nie zu null addieren. Das Pferd wiederum setzt sich in Bewegung, weil der Boden auf seine Hufe eine Reaktionskraft nach vorn ausübt.
Lösung:
Erforderlich ist a_z = v²/r = (20 m/s)²/50 m = 400/50 m/s² = 8,0 m/s². Diese Beschleunigung muss die Haftreibung aufbringen; ihr Maximum liegt bei a_max = μ_H · g = 0,80 · 9,81 m/s² = 7,85 m/s². Wegen 8,0 m/s² größer als 7,85 m/s² reicht die Haftung nicht aus, das Auto trägt nach außen. Die Bewegung ist beschleunigt, weil sich die Richtung der Geschwindigkeit laufend ändert.
Aus F_Z = m · v²/r und F_H ≤ μ_H · m · g folgt nach Kürzen der Masse die Bedingung v²/r ≤ μ_H · g. Die Grenzgeschwindigkeit wäre v_max = √(μ_H · g · r) = √(0,80 · 9,81 m/s² · 50 m) = 19,8 m/s, also knapp unter dem gefahrenen Tempo. Die Zentrifugalkraft ist eine Scheinkraft: Sie existiert nur im mitrotierenden Bezugssystem des Autos und darf im Inertialsystem der Straße nicht eingezeichnet werden. Konstantes Tempo bedeutet nicht konstante Geschwindigkeit – die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe.
Lösung:
Gewichtskraft: F_G = m · g = 10 kg · 9,81 m/s² = 98,1 N.
Hangabtriebskraft: F_Hang = m · g · sin 30° = 98,1 N · 0,500 = 49,1 N.
Normalkraft: F_N = m · g · cos 30° = 98,1 N · 0,866 = 85,0 N.
Gleitreibungskraft: F_R = μ_G · F_N = 0,20 · 85,0 N = 17,0 N.
Resultierende Kraft entlang der Ebene: F = 49,1 N − 17,0 N = 32,1 N.
Beschleunigung: a = F/m = 32,1 N / 10 kg = 3,21 m/s². Einheitenprobe: N/kg = (kg · m/s²)/kg = m/s².
Kontrolle über die geschlossene Form: a = g · (sin α − μ_G · cos α) = 9,81 m/s² · (0,500 − 0,20 · 0,866) = 9,81 m/s² · 0,327 = 3,21 m/s².
Der häufigste Fehler ist die Verwechslung von Sinus und Cosinus. Merkhilfe: Bei α = 0° liegt die Ebene flach, dann muss die Normalkraft die volle Gewichtskraft tragen (cos 0° = 1) und die Hangabtriebskraft verschwinden (sin 0° = 0). Der zweite Fehler ist die Reibung mit der Gewichtskraft statt mit der Normalkraft zu berechnen: μ_G · F_G ergäbe 19,6 N statt 17,0 N und damit eine zu kleine Beschleunigung. Die Beschleunigung ist massenunabhängig, weil m in a = g · (sin α − μ_G · cos α) herausfällt. Die Kiste rutscht überhaupt nur an, wenn tan 30° = 0,577 größer als die Haftreibungszahl ist.
Lösung:
Aus der Energieerhaltung m · g · h = ½ · m · v² folgt v = √(2 · g · h) = √(2 · 9,81 m/s² · 20 m) = √392,4 m²/s² = 19,8 m/s. Die Masse kürzt sich heraus.
Der Weg über die Kinematik führt zum selben Ergebnis: t = √(2 · 20 m / 9,81 m/s²) = 2,02 s und v = 9,81 m/s² · 2,02 s = 19,8 m/s. Der Wert 392,4 entsteht, wenn man die Wurzel vergisst – die Einheitenprobe entlarvt das sofort, denn 2 · g · h hat die Einheit m²/s² und nicht m/s. Die Masse spielt keine Rolle, weil sie sich sowohl in der Energiebilanz als auch in m · a = m · g herauskürzt.
Lösung:
Zutreffend sind die Massenunabhängigkeit des freien Falls, die Ungleichung der Haftreibung, die von der Abwurfgeschwindigkeit unabhängige Fallzeit beim waagerechten Wurf und die Massenunabhängigkeit der Schwingungsdauer beim Fadenpendel.
Beim freien Fall kürzt sich m aus m · a = m · g heraus. Beim waagerechten Wurf ist die senkrechte Bewegung y(t) = ½ · g · t² völlig unabhängig von v₀, deshalb landen ein waagerecht abgeschossener und ein fallen gelassener Körper gleichzeitig. Beim Fadenpendel steht in T = 2π · √(l/g) keine Masse; anschaulich wächst mit der Masse zwar die rücktreibende Kraft, aber im gleichen Maß die Trägheit. Die Gleitreibung F_R = μ_G · F_N hängt in guter Näherung nur von der Normalkraft ab – eine größere Fläche verteilt dieselbe Kraft nur auf mehr Kontaktpunkte.
Lösung:
Impulserhaltung: p = m₁ · v₁ + m₂ · v₂ = 2,0 kg · 3,0 m/s + 1,0 kg · 0 m/s = 6,0 kg · m/s.
Gemeinsame Geschwindigkeit: v = p/(m₁ + m₂) = 6,0 kg · m/s / 3,0 kg = 2,0 m/s.
Kinetische Energie vorher: E_kin = ½ · 2,0 kg · (3,0 m/s)² = 9,0 J.
Kinetische Energie nachher: E_kin = ½ · 3,0 kg · (2,0 m/s)² = 6,0 J.
Es fehlen 3,0 J. Der Impuls bleibt also erhalten, die kinetische Energie nicht – die Differenz steckt in Verformung, Wärme und Schall. Einheitenprobe: kg · (m/s)² = kg · m²/s² = J.
Die Impulserhaltung gilt bei jedem Stoß ohne äußere Kräfte – unabhängig davon, wie viel Energie umgewandelt wird. Erhalten bleibt die kinetische Energie nur beim elastischen Stoß. Zum Vergleich derselbe Stoß elastisch gerechnet: v₁' = ((m₁ − m₂) · v₁ + 2 · m₂ · v₂)/(m₁ + m₂) = (1,0 kg · 3,0 m/s)/3,0 kg = 1,0 m/s und v₂' = (2 · 2,0 kg · 3,0 m/s)/3,0 kg = 4,0 m/s. Probe: 2,0 · 1,0 + 1,0 · 4,0 = 6,0 kg · m/s und ½ · 2,0 kg · (1,0 m/s)² + ½ · 1,0 kg · (4,0 m/s)² = 1,0 J + 8,0 J = 9,0 J – hier bleiben beide Größen erhalten. Punktabzug gibt es typischerweise dafür, die Energieerhaltung auf den unelastischen Stoß anzuwenden.
Lösung:
Nutzarbeit: W = m · g · h = 500 kg · 9,81 m/s² · 10 m = 49 050 J. Nutzleistung: P_nutz = 49 050 J / 20 s = 2453 W. Wirkungsgrad: η = P_nutz/P_zu = 2453 W / 3000 W = 0,82, also rund 82 %.
Der Wirkungsgrad ist als Nutzleistung geteilt durch zugeführte Leistung definiert und liegt bei realen Maschinen immer unter 1. Der Wert 122 % entsteht, wenn Zähler und Nenner vertauscht werden (3000 W / 2453 W = 1,22); ein Ergebnis über 100 % ist immer ein Rechenfehler. Einheitenprobe: kg · m/s² · m = N · m = J, geteilt durch s ergibt W – der Wirkungsgrad selbst ist dimensionslos.
Lösung:
E_pot = m · g · h = 2,0 kg · 9,81 m/s² · 3,0 m = 58,9 J; das ist zugleich die Hubarbeit. Ohne Reibung wird diese Energie vollständig in kinetische Energie umgewandelt, also 58,9 J unmittelbar vor dem Aufprall. Daraus folgt v = √(2 · g · h) = √58,9 m²/s² = 7,7 m/s.
Der Wert 19,6 J entsteht aus 2,0 kg · 9,81 m/s², das ist aber die Gewichtskraft in Newton und keine Energie – ein klassischer Einheitenfehler. Die Aufprallgeschwindigkeit hängt nicht von der Masse ab, weil sie sich in m · g · h = ½ · m · v² herauskürzt; bei 4,0 kg bleibt v = 7,7 m/s, nur Energie und Impuls verdoppeln sich. Auf halber Höhe ist die Energie zur Hälfte umgewandelt: E_kin = 29,4 J und E_pot = 29,4 J.
Lösung:
Komponenten: v₀x = v₀ · cos 30° = 20 m/s · 0,866 = 17,3 m/s (bleibt konstant); v₀y = v₀ · sin 30° = 20 m/s · 0,500 = 10,0 m/s.
Steigzeit: t_s = v₀y/g = 10,0 m/s / 9,81 m/s² = 1,02 s.
Steighöhe: h = v₀y²/(2 · g) = (10,0 m/s)²/(2 · 9,81 m/s²) = 100/19,62 m = 5,10 m.
Wurfdauer: t = 2 · t_s = 2,04 s.
Wurfweite: w = v₀x · t = 17,3 m/s · 2,04 s = 35,3 m. Kontrolle mit der geschlossenen Form: w = v₀² · sin(2α)/g = 400 m²/s² · 0,866 / 9,81 m/s² = 35,3 m.
Maximal wird die Weite bei α = 45°, weil sin(2α) dort seinen Größtwert 1 erreicht. Einheitenprobe: (m/s)²/(m/s²) = m.
Der schiefe Wurf ist eine Überlagerung zweier unabhängiger Bewegungen: waagerecht x(t) = v₀x · t, senkrecht y(t) = v₀y · t − ½ · g · t². Weil sin(2α) symmetrisch um 45° liegt, liefern 30° und 60° dieselbe Weite – bei 60° fliegt der Ball höher und länger, aber langsamer nach vorn. Ein häufiger Fehler ist, in der Steighöhe v₀ statt v₀y einzusetzen; das ergäbe 20,4 m statt 5,10 m. Die Gleichungen gelten nur bei gleicher Abwurf- und Landehöhe; sonst muss die Wurfdauer aus der quadratischen Gleichung für y(t) = 0 bestimmt werden.
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