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Analysis 1 entscheidet in vielen Studiengängen über den Studienstart: Mathematik, Physik, Informatik und die Ingenieurwissenschaften bauen darauf auf. Der Stoff wirkt zunächst wie eine Sammlung unverbundener Regeln, ist aber ein einziger Gedankengang. Der Grenzwert erklärt, was Konvergenz bedeutet; darauf setzt die Stetigkeit auf; die Ableitung ist selbst ein Grenzwert; und das Integral kehrt die Ableitung wieder um. Wer diese Kette einmal durchschaut hat, muss deutlich weniger auswendig lernen.
Diese Analysis-1-Zusammenfassung geht die klausurrelevanten Blöcke in genau dieser Reihenfolge durch: Folgen und Konvergenz mit der ε-Definition, Reihen samt Quotienten-, Wurzel- und Leibniz-Kriterium, Stetigkeit mit Zwischenwertsatz und Satz vom Maximum, Grenzwerte und Ableitungen mit allen Ableitungsregeln, Kurvendiskussion, Mittelwertsatz, die Regel von l’Hospital sowie die Integralrechnung bis zum Hauptsatz und zur Taylorentwicklung. Zu jeder Regel steht ein durchgerechnetes Beispiel, denn in der Mathe-Klausur an der Uni wird selten die Formel selbst abgefragt, sondern ihre Anwendung auf eine konkrete Funktion.
Besonderes Gewicht liegt auf den Stellen, an denen regelmäßig Punkte verloren gehen: f'(x₀) = 0 ist für ein Extremum notwendig, aber nicht hinreichend; die harmonische Reihe divergiert, obwohl ihre Glieder gegen null gehen; aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit, umgekehrt aber nicht; und die Regel von l’Hospital darf nur bei 0/0 oder ∞/∞ angewendet werden. Die Lernkarten und Übungsfragen unten prüfen genau diese Unterscheidungen. Du kannst alles direkt hier durcharbeiten – oder die Inhalte kostenfrei in deinen Learnboost Account übernehmen und dort mit Spaced Repetition, Lernplan und KI-Tutor weiterlernen.
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Die Analysis untersucht Funktionen mit dem Grenzwertbegriff. Er ist der rote Faden von Analysis 1 und Höherer Mathematik 1: Konvergenz, Stetigkeit, Ableitung und Integral sind Grenzwerte in unterschiedlicher Verkleidung.
Konvergenz: Eine Folge (aₙ) konvergiert gegen a, wenn es zu jedem ε > 0 einen Index N gibt mit |aₙ − a| < ε für alle n > N. Ab einem Index liegen also alle weiteren Glieder im ε-Streifen um a; für aₙ = 1/n und a = 0 genügt jedes N > 1/ε.
Die Grenzwertsätze erlauben gliedweises Rechnen: Aus aₙ → a und bₙ → b folgen aₙ + bₙ → a + b, aₙ·bₙ → a·b und aₙ/bₙ → a/b für b ≠ 0. Man kürzt mit der höchsten Potenz von n: (3n + 1)/(n + 2) = (3 + 1/n)/(1 + 2/n) → 3.
Das Monotoniekriterium sichert Konvergenz, ohne den Grenzwert zu kennen: Jede monotone und beschränkte Folge konvergiert. Bei Divergenz unterscheidet man bestimmte Divergenz (aₙ = n² wächst über jede Schranke) und unbestimmte Divergenz (aₙ = (−1)ⁿ springt zwischen −1 und 1: beschränkt, ohne Grenzwert).
Eine Reihe ist die Folge der Partialsummen sₙ = a₁ + … + aₙ. Die geometrische Reihe Σ qⁿ, summiert ab n = 0, konvergiert genau für |q| < 1 gegen 1/(1 − q); für q = 1/2 ergibt das 2.
Notwendiges Kriterium: Konvergiert Σ aₙ, dann gilt aₙ → 0. Die Umkehrung ist falsch. Die harmonische Reihe Σ 1/n divergiert, obwohl 1/n → 0 geht: Blockweise ist 1/3 + 1/4 größer als 1/2, ebenso die nächsten vier Glieder, sodass sich beliebig oft ein halbes Stück nachlegen lässt.
Quotientenkriterium mit q = lim |aₙ₊₁/aₙ|: q < 1 bedeutet absolute Konvergenz, q > 1 Divergenz, q = 1 keine Aussage. Für Σ 1/n! ist der Quotient 1/(n + 1) → 0, die Reihe konvergiert. Dass q = 1 nichts entscheidet, zeigen Σ 1/n (divergent) und Σ 1/n² (konvergent) – beide liefern 1. Das Wurzelkriterium nutzt dieselben Schranken mit der n-ten Wurzel von |aₙ|: für Σ n/2ⁿ ergibt sich 1/2, also Konvergenz.
Leibniz-Kriterium: Ist aₙ ≥ 0, monoton fallend und aₙ → 0, konvergiert Σ (−1)ⁿ⁺¹·aₙ. Die alternierende harmonische Reihe 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … konvergiert gegen ln 2, aber nicht absolut: Die Reihe der Beträge divergiert.
ε-δ-Definition: f ist an der Stelle x₀ stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit |f(x) − f(x₀)| < ε für alle x mit |x − x₀| < δ. Gleichwertig ist das Folgenkriterium: xₙ → x₀ zieht f(xₙ) → f(x₀) nach sich.
Zwischenwertsatz: Eine auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion nimmt jeden Wert zwischen den Randwerten an. Daher das Nullstellenargument: f(x) = x³ + x − 1 hat f(0) = −1 und f(1) = 1, also liegt zwischen 0 und 1 eine Nullstelle – ohne sie zu berechnen.
Satz vom Maximum: Auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall nimmt eine stetige Funktion Maximum und Minimum an. Beide Voraussetzungen sind nötig: Auf dem halboffenen Intervall bis 1 ist 1/x stetig, aber unbeschränkt.
Der Differenzenquotient (f(x) − f(x₀))/(x − x₀) ist die Sekantensteigung, die Ableitung sein Grenzwert für x → x₀, also die Tangentensteigung. Für f(x) = x² kürzt sich (x² − x₀²)/(x − x₀) zu x + x₀ und liefert f'(x₀) = 2x₀.
Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit, aus Stetigkeit aber keine Differenzierbarkeit: f(x) = |x| ist bei x = 0 stetig, dort jedoch nicht differenzierbar, weil der Differenzenquotient von links −1 und von rechts +1 liefert.
Summen werden gliedweise abgeleitet, konstante Faktoren bleiben stehen. Dazu: Produktregel (f·g)' = f'·g + f·g', Quotientenregel (f/g)' = (f'·g − f·g')/g² und Kettenregel: f(g(x)) hat die Ableitung f'(g(x))·g'(x), also äußere mal innere. Grundableitungen: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x für positives x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (√x)' = 1/(2√x).
Durchgerechnet: 3x³ − 2x² + 5x − 7 hat die Ableitung 9x² − 4x + 5. Produktregel: x²·eˣ hat 2x·eˣ + x²·eˣ = eˣ·(x² + 2x). Quotientenregel: x²/(x + 1) hat (2x·(x + 1) − x²)/(x + 1)² = (x² + 2x)/(x + 1)². Kettenregel: (3x² + 1)⁵ hat 5·(3x² + 1)⁴·6x = 30x·(3x² + 1)⁴.
Monotonie: positives f' heißt streng monoton wachsend, negatives streng monoton fallend. Bei Extremstellen trennt man notwendig und hinreichend. Notwendig: Hat eine differenzierbare Funktion an einer inneren Stelle x₀ ein lokales Extremum, dann ist f'(x₀) = 0 – das liefert nur Kandidaten. Hinreichend: f'(x₀) = 0 mit negativem f''(x₀) ergibt ein Maximum, mit positivem f''(x₀) ein Minimum. Ist auch f''(x₀) = 0, hilft nur der Vorzeichenwechsel von f'. Gegenbeispiel: x³ hat f'(0) = 0, aber f'(x) = 3x² wechselt das Vorzeichen nicht – kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt.
Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung: positives f'' heißt linksgekrümmt (konvex), negatives rechtsgekrümmt (konkav). Ein Wendepunkt ist eine Stelle mit Krümmungswechsel; notwendig ist f''(x₀) = 0, hinreichend etwa f'''(x₀) ≠ 0. Auch hier reicht sie nicht: x⁴ hat f''(0) = 0, aber f''(x) = 12x² wechselt das Vorzeichen nicht – dort liegt ein Minimum.
Beispiel f(x) = x³ − 3x: Aus f'(x) = 3x² − 3 folgen die Kandidaten x = −1 und x = 1. Mit f''(x) = 6x ist f''(−1) = −6, also Maximum im Punkt (−1 | 2), und f''(1) = 6, also Minimum im Punkt (1 | −2). f''(x) = 0 gilt nur bei x = 0, und f'''(x) = 6 ≠ 0 – Wendepunkt im Ursprung.
Mittelwertsatz: Ist f auf einem abgeschlossenen Intervall stetig und im Inneren differenzierbar, gibt es eine Stelle ξ mit f'(ξ) gleich der mittleren Steigung über dem Intervall. Für f(x) = x² auf dem Intervall von 0 bis 2 ist die mittlere Steigung (4 − 0)/(2 − 0) = 2; aus 2ξ = 2 folgt ξ = 1. Folgerung: Verschwindet f' auf einem Intervall überall, ist f dort konstant.
Die Regel von l’Hospital ist kein Allzweckwerkzeug. Sie greift nur, wenn der Grenzwert die unbestimmte Form 0/0 oder ∞/∞ hat, Zähler und Nenner in einer Umgebung der Stelle differenzierbar sind, die Ableitung des Nenners dort nicht null wird und der Grenzwert von f'/g' existiert oder bestimmt divergiert. Beispiele: lim x→0 von sin(x)/x (Form 0/0) wird zu cos(x)/1 → 1; lim x→∞ von ln(x)/x (Form ∞/∞) wird zu (1/x)/1 → 0.
Blind angewendet erzeugt die Regel Fehler: lim x→0 von (x + 1)/(x + 2) ist 1/2, weil man einsetzen darf; Ableiten von Zähler und Nenner ergäbe 1 und wäre falsch, da keine unbestimmte Form vorlag. Formen wie 0·∞ oder ∞ − ∞ müssen zuerst als Bruch geschrieben werden.
F heißt Stammfunktion von f, wenn F'(x) = f(x) gilt; zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante – daher das + C. Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung verbindet beides: Für stetiges f ist die Integralfunktion mit variabler oberer Grenze differenzierbar mit der Ableitung f; das bestimmte Integral ist der Wert einer Stammfunktion an der oberen minus an der unteren Grenze.
Grundintegrale: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C für n ≠ −1, ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C. Das bestimmte Integral ist ein orientierter Flächeninhalt: Stücke unter der x-Achse gehen negativ ein. Beispiel: ∫ x² dx in den Grenzen von 0 bis 2 ergibt mit der Stammfunktion x³/3 den Wert 8/3.
Partielle Integration ∫ u·v' dx = u·v − ∫ u'·v dx ist die umgekehrte Produktregel. Mit u = x und v' = eˣ folgt ∫ x·eˣ dx = x·eˣ − ∫ eˣ dx = eˣ·(x − 1) + C. Probe durch Ableiten: eˣ·(x − 1) + eˣ = x·eˣ.
Substitution ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du mit u = g(x) ist die umgekehrte Kettenregel. Für ∫ 2x·(x² + 1)³ dx setzt man u = x² + 1 und du = 2x dx: ∫ u³ du = u⁴/4 + C = (x² + 1)⁴/4 + C. Grenzen werden mitsubstituiert: Aus x von 0 bis 1 wird u von 1 bis 2, der Wert ist 16/4 − 1/4 = 15/4.
Eine hinreichend oft differenzierbare Funktion lässt sich nahe einer Stelle x₀ durch ein Polynom annähern. Das Taylorpolynom zweiten Grades lautet T₂(x) = f(x₀) + f'(x₀)·(x − x₀) + f''(x₀)/2·(x − x₀)²; jeder weitere Summand ist die k-te Ableitung an x₀, geteilt durch k!, mal (x − x₀) hoch k. Den Fehler beschreibt das Restglied.
Für f(x) = eˣ mit x₀ = 0 sind alle Ableitungen an der Stelle 0 gleich 1, also T₂(x) = 1 + x + x²/2 und allgemein 1 + x + x²/2 + x³/6 + … Die Näherung wird besser, je näher x an x₀ liegt: An der Stelle 0,1 liefert T₂ den Wert 1 + 0,1 + 0,005 = 1,105, der exakte Wert beträgt rund 1,1052.
Frage antippen, um die Antwort aufzudecken.
Wenn es zu jedem ε > 0 einen Index N gibt, sodass |aₙ − a| < ε für alle n > N gilt. Anschaulich: Ab irgendeinem Index liegen alle weiteren Glieder in jedem noch so schmalen Streifen um a. Für aₙ = 1/n und a = 0 genügt jedes N mit N > 1/ε.
Gilt aₙ → a und bₙ → b, dann konvergieren auch die zusammengesetzten Folgen: aₙ + bₙ → a + b, aₙ − bₙ → a − b, aₙ·bₙ → a·b und aₙ/bₙ → a/b, sofern b ≠ 0 ist. Damit lassen sich Brüche wie (3n + 1)/(n + 2) durch Kürzen mit n behandeln: (3 + 1/n)/(1 + 2/n) → 3.
Jede monotone und beschränkte Folge konvergiert. Nützlich ist es, weil es Konvergenz nachweist, ohne dass man den Grenzwert kennt. Beschränktheit allein genügt aber nicht: Jede konvergente Folge ist zwar beschränkt, aber nicht jede beschränkte Folge konvergiert, wie aₙ = (−1)ⁿ zeigt.
Sie konvergiert genau für |q| < 1 und hat dann den Wert 1/(1 − q). Für q = 1/2 ergibt das 1/(1 − 1/2) = 2. Für |q| ≥ 1 divergiert sie, weil die Glieder nicht gegen 0 gehen.
Konvergiert Σ aₙ, dann gilt aₙ → 0. Umgekehrt folgt aus aₙ → 0 keine Konvergenz. Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe Σ 1/n: Ihre Glieder gehen gegen 0, die Reihe divergiert trotzdem. Blockweise sieht man das so: 1/3 + 1/4 ist größer als 1/2, ebenso 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 – man kann beliebig oft ein halbes Stück nachlegen.
Man betrachtet q = lim |aₙ₊₁/aₙ|. Für q < 1 konvergiert die Reihe absolut, für q > 1 divergiert sie, für q = 1 liefert das Kriterium keine Aussage. Beispiel Σ 1/n!: Der Quotient ist 1/(n + 1) → 0, also konvergent. Dass q = 1 nichts entscheidet, zeigen Σ 1/n (divergent) und Σ 1/n² (konvergent) – beide liefern 1.
Ist aₙ ≥ 0, monoton fallend und aₙ → 0, so konvergiert die alternierende Reihe Σ (−1)ⁿ⁺¹·aₙ. Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … konvergiert gegen ln 2. Sie ist aber nicht absolut konvergent, denn die Reihe der Beträge ist die divergente harmonische Reihe.
f ist an der Stelle x₀ stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, sodass |f(x) − f(x₀)| < ε für alle x mit |x − x₀| < δ gilt. Gleichwertig ist das Folgenkriterium: Für jede Folge xₙ → x₀ gilt f(xₙ) → f(x₀).
Ist f auf einem abgeschlossenen Intervall stetig, so nimmt f jeden Wert zwischen den beiden Randwerten an. Typischer Einsatz ist der Nachweis einer Nullstelle: f(x) = x³ + x − 1 hat f(0) = −1 und f(1) = 1, also liegt zwischen 0 und 1 mindestens eine Nullstelle – ohne dass man sie berechnen muss.
Der Differenzenquotient (f(x) − f(x₀))/(x − x₀) ist die Sekantensteigung. Die Ableitung ist sein Grenzwert: f'(x₀) = lim x→x₀ von (f(x) − f(x₀))/(x − x₀), also die Tangentensteigung. Für f(x) = x² kürzt sich (x² − x₀²)/(x − x₀) zu x + x₀ und liefert f'(x₀) = 2x₀.
Produktregel: (f·g)' = f'·g + f·g'. Beispiel: f(x) = x²·eˣ hat f'(x) = 2x·eˣ + x²·eˣ = eˣ·(x² + 2x). Quotientenregel: (f/g)' = (f'·g − f·g')/g². Beispiel: f(x) = x²/(x + 1) hat f'(x) = (2x·(x + 1) − x²)/(x + 1)² = (x² + 2x)/(x + 1)².
Die Ableitung von f(g(x)) ist f'(g(x))·g'(x), also äußere mal innere Ableitung. Für (3x² + 1)⁵ ist die äußere Ableitung 5·(3x² + 1)⁴ und die innere 6x, zusammen f'(x) = 30x·(3x² + 1)⁴. Ebenso hat e²ˣ die Ableitung 2·e²ˣ und sin(3x) die Ableitung 3·cos(3x).
Notwendig: Hat eine differenzierbare Funktion an einer inneren Stelle x₀ ein lokales Extremum, so ist f'(x₀) = 0 – das liefert nur Kandidaten. Hinreichend: f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0 ergeben ein Maximum, f'(x₀) = 0 und f''(x₀) > 0 ein Minimum. Gegenbeispiel für die Umkehrung: f(x) = x³ hat f'(0) = 0, aber wegen f'(x) = 3x² ohne Vorzeichenwechsel kein Extremum, sondern einen Sattelpunkt.
Ist f auf einem abgeschlossenen Intervall stetig und im Inneren differenzierbar, so gibt es dort eine Stelle ξ, an der die momentane Steigung f'(ξ) gleich der mittleren Steigung über dem Intervall ist. Für f(x) = x² auf dem Intervall von 0 bis 2 ist die mittlere Steigung (4 − 0)/(2 − 0) = 2; aus 2ξ = 2 folgt ξ = 1. Der Satz von Rolle ist der Sonderfall gleicher Randwerte.
Erstens muss der Grenzwert die unbestimmte Form 0/0 oder ∞/∞ haben. Zweitens müssen Zähler und Nenner in einer Umgebung der Stelle differenzierbar sein. Drittens darf die Ableitung des Nenners dort nicht null werden. Viertens muss der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen existieren oder bestimmt divergieren. Erst dann gilt lim f/g = lim f'/g'. Formen wie 0·∞ oder ∞ − ∞ müssen vorher als Bruch geschrieben werden.
Ist f auf einem Intervall stetig, so ist die Integralfunktion, die jedem x das Integral von einer festen unteren Grenze bis x zuordnet, differenzierbar mit der Ableitung f – Differenzieren und Integrieren sind Umkehrungen. Für jede Stammfunktion F berechnet sich das bestimmte Integral als Wert von F an der oberen Grenze minus Wert von F an der unteren Grenze. Beispiel: ∫ x² dx in den Grenzen von 0 bis 2 ist 8/3 − 0 = 8/3.
∫ u·v' dx = u·v − ∫ u'·v dx – die umgekehrte Produktregel. Mit u = x und v' = eˣ ist u' = 1 und v = eˣ, also ∫ x·eˣ dx = x·eˣ − ∫ eˣ dx = eˣ·(x − 1) + C. Probe durch Ableiten: eˣ·(x − 1) + eˣ = x·eˣ.
∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du mit u = g(x) – die umgekehrte Kettenregel. Hier setzt man u = x² + 1 und du = 2x dx und erhält ∫ u³ du = u⁴/4 + C = (x² + 1)⁴/4 + C. Bei bestimmten Integralen werden die Grenzen mitsubstituiert: Aus x von 0 bis 1 wird u von 1 bis 2, der Wert ist 16/4 − 1/4 = 15/4.
Lösung:
Nach der Produktregel gilt f'(x) = 2x·eˣ + x²·eˣ, ausgeklammert also f'(x) = eˣ·(x² + 2x).
Die Produktregel lautet (f·g)' = f'·g + f·g'. Mit f = x² und g = eˣ ist f' = 2x und g' = eˣ, also f'(x) = 2x·eˣ + x²·eˣ. Ausklammern von eˣ ergibt eˣ·(x² + 2x). Das Produkt der einzelnen Ableitungen, 2x·eˣ, ist keine gültige Regel – dort fehlt der zweite Summand.
Lösung:
Einsetzen liefert 1/2. Die Regel von l’Hospital darf nicht angewendet werden, weil kein unbestimmter Ausdruck der Form 0/0 oder ∞/∞ vorliegt.
Zähler und Nenner sind an der Stelle 0 stetig, und der Nenner hat dort den Wert 2, ist also ungleich null. Der Grenzwert ergibt sich damit direkt durch Einsetzen zu 1/2. Wer trotzdem Zähler und Nenner einzeln ableitet, erhält 1/1 = 1 und damit ein falsches Ergebnis – die Regel von l’Hospital setzt zwingend die Form 0/0 oder ∞/∞ voraus.
Lösung:
Zutreffend sind die Divergenz der harmonischen Reihe, die Konvergenzbedingung der geometrischen Reihe und die bedingte Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe.
Das notwendige Kriterium sagt nur: Konvergiert eine Reihe, gehen ihre Glieder gegen null. Die Umkehrung ist falsch, wie die harmonische Reihe zeigt – dort ist 1/3 + 1/4 größer als 1/2, ebenso 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8, sodass sich beliebig oft ein halbes Stück nachlegen lässt. Beim Quotientenkriterium ist der Grenzwert 1 gerade der Fall ohne Aussage: Σ 1/n divergiert, Σ 1/n² konvergiert, und beide liefern 1. Die alternierende harmonische Reihe konvergiert nach Leibniz gegen ln 2, die Reihe ihrer Beträge ist aber die divergente harmonische Reihe.
Lösung:
Ableitungen: f'(x) = 3x² − 3 und f''(x) = 6x.
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 führt auf 3x² = 3, also auf die Kandidaten x = −1 und x = 1.
Hinreichende Bedingung: f''(−1) = −6 ist kleiner als null, also liegt ein lokales Maximum vor; mit f(−1) = −1 + 3 = 2 ist der Punkt (−1 | 2). f''(1) = 6 ist größer als null, also ein lokales Minimum; mit f(1) = 1 − 3 = −2 ist der Punkt (1 | −2).
Wendepunkt: f''(x) = 0 gilt nur für x = 0. Wegen f'''(x) = 6 ≠ 0 wechselt die Krümmung dort tatsächlich; mit f(0) = 0 ist der Wendepunkt der Ursprung.
Monotonie: f wächst links von −1 und rechts von 1 und fällt dazwischen.
Volle Punktzahl gibt es nur, wenn beide Schritte auftauchen: f'(x₀) = 0 ist die notwendige Bedingung und legt lediglich die Kandidaten fest. Erst das Vorzeichen von f'' – oder ersatzweise ein Vorzeichenwechsel von f' – entscheidet, ob und welches Extremum vorliegt. Für den Wendepunkt gilt dasselbe Muster: f''(x₀) = 0 ist notwendig, f'''(x₀) ≠ 0 ist hinreichend.
Lösung:
Eine Stammfunktion von 3x² ist x³. Einsetzen der Grenzen ergibt 2³ − 0³ = 8.
Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung wertet man eine Stammfunktion an der oberen Grenze aus und zieht den Wert an der unteren Grenze ab. Aus der Potenzregel folgt ∫ 3x² dx = 3·x³/3 = x³ + C; die Konstante fällt bei der Differenz weg. Damit ergibt sich 8 − 0 = 8. Wer stattdessen den Funktionswert 3·2² = 12 einsetzt, verwechselt Funktion und Stammfunktion.
Lösung:
Richtig sind: Differenzierbarkeit zieht Stetigkeit nach sich, die Betragsfunktion ist bei null stetig ohne differenzierbar zu sein, und der Satz vom Maximum gilt für stetige Funktionen auf abgeschlossenen, beschränkten Intervallen.
Differenzierbarkeit ist die stärkere Eigenschaft: Existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten, kann die Funktion dort keinen Sprung haben. Umgekehrt reicht Stetigkeit nicht aus, wie die Betragsfunktion zeigt – ihr Differenzenquotient liefert bei null von links −1 und von rechts +1, ein gemeinsamer Grenzwert existiert nicht. Zwischenwertsatz und Satz vom Maximum verlangen beide nur Stetigkeit, der Satz vom Maximum zusätzlich ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall.
Lösung:
Ansatz: u = x und v' = eˣ, damit u' = 1 und v = eˣ.
Partielle Integration ergibt ∫ x·eˣ dx = x·eˣ − ∫ 1·eˣ dx = x·eˣ − eˣ = eˣ·(x − 1).
Grenzen einsetzen: An der oberen Grenze ergibt sich e·(1 − 1) = 0, an der unteren Grenze 1·(0 − 1) = −1. Das Integral hat damit den Wert 0 − (−1) = 1.
Die Formel ∫ u·v' dx = u·v − ∫ u'·v dx ist die umgekehrte Produktregel. Sie hilft nur, wenn das verbleibende Integral einfacher ist als das ursprüngliche – deshalb wird x abgeleitet und eˣ integriert, nicht andersherum. Die Probe bestätigt die Stammfunktion: Leitet man eˣ·(x − 1) ab, erhält man eˣ·(x − 1) + eˣ = x·eˣ.
Lösung:
Es liegt kein Extremum vor, sondern ein Sattelpunkt: f'(x) = 3x² ist überall größer oder gleich null und wechselt bei x = 0 das Vorzeichen nicht.
f'(x₀) = 0 ist für ein Extremum im Inneren des Definitionsbereichs notwendig, aber nicht hinreichend – die Gleichung liefert nur Kandidaten. Entschieden wird über f''(x₀) oder über einen Vorzeichenwechsel von f'. Hier ist f''(0) = 0, und f' wechselt das Vorzeichen nicht: x³ steigt links wie rechts von null, die Tangente ist an der Stelle lediglich waagerecht. Man spricht von einem Sattelpunkt, also einem Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Lösung:
Korrekt sind die Ableitung der fünften Potenz nach der Kettenregel, die Ableitung von sin(3x) und die Ableitung der Wurzelfunktion.
Die Kettenregel verlangt äußere mal innere Ableitung: für die fünfte Potenz 5·(3x² + 1)⁴·6x = 30x·(3x² + 1)⁴, für sin(3x) entsprechend cos(3x)·3. Bei e²ˣ wird die innere Ableitung 2 häufig vergessen; richtig ist 2·e²ˣ. Die Quotientenregel liefert (2x·(x + 1) − x²·1)/(x + 1)² = (x² + 2x)/(x + 1)² und nicht 2x/(x + 1)². Die Wurzel ist x hoch ein halb, ihre Ableitung damit 1/(2√x).
Lösung:
Voraussetzungen: Der Grenzwert muss die unbestimmte Form 0/0 oder ∞/∞ haben; Zähler und Nenner müssen in einer Umgebung der betrachteten Stelle differenzierbar sein; die Ableitung des Nenners darf dort nicht null werden; und der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen muss existieren oder bestimmt divergieren. Erst dann stimmen beide Grenzwerte überein.
Anwendung: Für x gegen ∞ gehen ln(x) und x beide gegen ∞, es liegt also die Form ∞/∞ vor. Ableiten von Zähler und Nenner ergibt (1/x)/1 = 1/x, und 1/x geht für x gegen ∞ gegen 0. Der gesuchte Grenzwert ist damit 0.
Der häufigste Fehler ist die Anwendung ohne unbestimmte Form – dann liefert die Regel ein falsches Ergebnis. Formen wie 0·∞ oder ∞ − ∞ müssen zuerst als Bruch umgeschrieben werden, bevor die Regel greift. Inhaltlich zeigt das Ergebnis, dass der Logarithmus langsamer wächst als x selbst.
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