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Festigkeitslehre ist der Teil der Technischen Mechanik, in dem aus abstrakten Schnittgrößen konkrete Bauteilaussagen werden: Hält der Stab die Last, oder versagt er? Die Statik liefert Normalkraft, Querkraft und Biegemoment – die Festigkeitslehre verteilt diese Schnittgrößen über den Querschnitt und macht daraus Spannungen, die sich mit Werkstoffkennwerten vergleichen lassen. Dieser Dreischritt aus Schnittgröße, Spannung und Nachweis ist das Rückgrat fast jeder Aufgabe in der TM2 Klausur – und er ist gut lernbar, weil er immer demselben Muster folgt.
Diese Festigkeitslehre Zusammenfassung arbeitet die klausurrelevanten Blöcke der Reihe nach durch: Spannung und Dehnung mit dem Hookeschen Gesetz, den Zugversuch mit Streckgrenze und Zugfestigkeit, zulässige Spannung und Tragfähigkeitsnachweis, Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment inklusive Satz von Steiner, die Spannung bei Biegung mit der Randspannungsformel σ_b = M/W, Schub und Abscheren, die Torsion von Wellen sowie das Knicken nach Euler mit den vier Knickfällen. Jede Formel steht neben einem vollständig durchgerechneten Zahlenbeispiel in konsistenten Einheiten – Kräfte in N, Längen in mm, Spannungen in MPa –, denn in Klausuren gehen die meisten Punkte nicht an der Idee verloren, sondern an der Einheitenumrechnung und am vergessenen Nachweis σ_vorh ≤ σ_zul.
Unter der Zusammenfassung findest du Lernkarten zu Definitionen, Formeln und typischen Fehlerquellen sowie Übungsfragen im Klausurformat – vom schnellen Spannungsnachweis bis zur Euler-Knicklast, jeweils mit Musterlösung und Einheitenkontrolle. Übernimmst du die Inhalte in deinen Learnboost-Account, wiederholt Spaced Repetition jede Karte genau dann, wenn du sie zu vergessen beginnst, der Lernplan verteilt den Stoff bis zur Prüfung, und der KI-Tutor beantwortet Rückfragen – etwa, warum ein Träger hochkant neunmal steifer ist als flach. Einzige Voraussetzung: Du kannst Schnittgrößen bestimmen. Alles Weitere baut diese Seite Schritt für Schritt auf.
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Die Festigkeitslehre beantwortet, ob ein Bauteil eine Belastung erträgt und wie stark es sich verformt. Ausgangspunkt sind die Schnittgrößen aus der Statik – Normalkraft N, Querkraft Q, Biegemoment M, Torsionsmoment T. Von dort führt immer derselbe Weg: Spannung berechnen, mit der zulässigen vergleichen, Nachweis hinschreiben.
Eine Spannung ist die auf die Fläche bezogene innere Kraft in einer gedachten Schnittfläche. Steht die Kraftkomponente senkrecht auf der Fläche, heißt sie Normalspannung σ (Zug positiv, Druck negativ); liegt sie in der Fläche, heißt sie Schubspannung τ. Die Einheit ist das Megapascal: 1 MPa = 1 N/mm². Einheitenroutine: Kräfte in N (kN mal 1.000), Längen in mm, Momente in N·mm, E-Moduln in MPa (GPa mal 1.000) – Spannungen kommen dann automatisch in MPa heraus. Welcher Anteil als σ und welcher als τ erscheint, hängt von der Schnittrichtung ab; deshalb braucht es später Vergleichsspannungen.
Beim geraden Stab unter Normalkraft verteilt sich N gleichmäßig über den Querschnitt: σ = N/A. Die Verformung beschreibt die Dehnung ε = Δl/l₀ – dimensionslos, meist in Promille. Im elastischen Bereich gilt das Hookesche Gesetz σ = E · ε. Der Elastizitätsmodul ist ein Werkstoffkennwert: Stahl rund 210.000 MPa, Aluminium rund 70.000 MPa – bei gleicher Spannung dehnt sich Aluminium dreimal so stark. Für den Stab folgt Δl = N · l₀/(E · A). Beispiel Stahlstab, l₀ = 2.000 mm, A = 200 mm², N = 21 kN: σ = 21.000/200 = 105 MPa, ε = σ/E = 105/210.000 = 0,0005 = 0,5 ‰, Δl = 0,0005 · 2.000 mm = 1,0 mm. Einheitenkontrolle: N · mm/(N/mm² · mm²) = mm. Quer zur Zugrichtung schnürt sich der Stab ein: ε_quer = −ν · ε mit ν ≈ 0,3 für Metalle, im Beispiel −0,15 ‰.
Temperaturänderungen dehnen Bauteile auch ohne Kraft: ε_th = α · ΔT, für Stahl mit α ≈ 12 · 10⁻⁶ 1/K. Ein 10 m langer Träger wird bei ΔT = 50 K um Δl = 0,000012 · 50 · 10.000 mm = 6 mm länger – sofern er sich frei dehnen darf. Wird die Dehnung vollständig behindert, entsteht eine Spannung vom Betrag σ = E · α · ΔT = 210.000 · 0,0006 = 126 MPa, bei Erwärmung als Druckspannung – ohne äußere Last, unabhängig von der Stablänge.
Der Zugversuch liefert die Kennwerte für alle Nachweise. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm beginnt mit einer Geraden – hier gilt Hooke. An der Streckgrenze R_e endet der rein elastische Bereich: Der Werkstoff fließt und behält nach Entlastung eine bleibende Dehnung. Danach verfestigt sich das Material bis zur Zugfestigkeit R_m, dem Maximum des technischen Diagramms; die Bruchdehnung misst die plastische Dehnung bis zum Bruch. Duktile Werkstoffe wie Baustahl kündigen Versagen durch große Verformung an, spröde wie Gusseisen brechen fast ohne Vorwarnung – man sichert duktile gegen R_e ab, spröde gegen R_m. Die zulässige Spannung teilt den Grenzwert durch einen Sicherheitsfaktor S: σ_zul = R_e/S bzw. R_m/S, für S235 mit R_e = 235 MPa und S = 1,5 etwa 157 MPa. Das Grundschema aller Nachweise: vorhandene Spannung berechnen, zulässige bestimmen, vergleichen – σ_vorh ≤ σ_zul – in der Klausur immer explizit hinschreiben.
Ob ein Querschnitt Biegung gut erträgt, entscheidet die Verteilung der Fläche: Material weit weg von der neutralen Faser wirkt überproportional. Genau das misst das Flächenträgheitsmoment I (Einheit mm⁴). Für das Rechteck gilt I = b · h³/12, wobei h die Abmessung in Lastrichtung ist – die Höhe geht hoch drei ein, die Breite nur linear. Der Orientierungseffekt: Ein Rechteckquerschnitt 20 mm breit und 60 mm hoch hat hochkant I = 20 · 60³/12 = 360.000 mm⁴, flach gelegt (60 mm breit, 20 mm hoch) nur I = 60 · 20³/12 = 40.000 mm⁴ – Faktor 9. Deshalb stellt man Balken hochkant. Für den Kreis gilt I = π · d⁴/64, für den Kreisring I = π · (D⁴ − d⁴)/64. Randspannungen liefert das Widerstandsmoment W = I/z_max (z_max = Randabstand); beim Rechteck W = b · h²/6, im Beispiel hochkant 12.000 mm³, flach 4.000 mm³. Zusammengesetzte Querschnitte behandelt der Satz von Steiner: I_gesamt = Summe aus I_eigen + A · a² über alle Teilflächen, mit a als Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt. Beispiel I-Profil, 100 mm hoch: Steg 20 mm breit und 60 mm hoch, oben und unten je ein Gurt 60 mm breit und 20 mm hoch. Der Steg liegt im Gesamtschwerpunkt: 360.000 mm⁴ ohne Steiner-Anteil. Jeder Gurt: I_eigen = 40.000 mm⁴, A = 1.200 mm², a = 40 mm, also A · a² = 1.920.000 mm⁴, zusammen 1.960.000 mm⁴. Gesamt: I = 360.000 + 2 · 1.960.000 = 4.280.000 mm⁴ – die Gurte liefern über 90 Prozent, darum sind I-Profile so effizient. Zwei Fehlerquellen: a bezieht sich immer auf den Gesamtschwerpunkt, und der Eigenanteil wird nie weggelassen.
Bei gerader Biegung verläuft die Normalspannung linear über die Querschnittshöhe: null in der neutralen Faser (sie geht durch den Schwerpunkt), Maximum am Rand – auf einer Seite Zug, auf der anderen Druck. Die Randspannung liefert σ_b = M/W. Beispiel: Ein beidseitig gelenkig gelagerter Träger, Stützweite 2,0 m, mittig F = 2,4 kN: M = F · l/4 = 1,2 kN·m = 1.200.000 N·mm. Mit dem hochkant gestellten Rechteck von oben (W = 12.000 mm³) folgt σ_b = 1.200.000/12.000 = 100 MPa. Nachweis: 100 MPa ≤ σ_zul = 140 MPa – erfüllt. Die Bemessung dreht die Formel um: W_erf = M/σ_zul. Für M = 2,4 kN·m und σ_zul = 160 MPa ist W_erf = 2.400.000/160 = 15.000 mm³ – ein Rechteck 30 mm breit und 60 mm hoch bietet W = 18.000 mm³ und reicht. Die Durchbiegung steuert die Biegesteifigkeit E · I; beim Kragarm mit Endlast gilt f = F · l³/(3 · E · I) – die Länge geht hoch drei.
Die Querkraft erzeugt Schubspannungen in der Schnittfläche. Als Näherung dient die mittlere Schubspannung τ = Q/A; real ist die Verteilung parabelförmig, beim Rechteck mit dem Maximum 1,5 · Q/A in der neutralen Faser. Klausurrelevant ist das Abscheren von Bolzen und Nieten: einschnittig trägt eine Scherfläche, zweischnittig verteilen zwei die Kraft. Beispiel: Ein Bolzen mit A = 200 mm² je Scherfläche überträgt F = 24 kN zweischnittig, also τ = 24.000/(2 · 200) = 60 MPa ≤ τ_zul = 80 MPa – erfüllt. Einschnittig wären es 120 MPa, der Nachweis wäre verfehlt.
Ein Torsionsmoment T verdreht den Stab und erzeugt Schubspannungen, die am Rand maximal sind und in der Stabachse verschwinden. Für Kreisquerschnitte gilt τ_t = T/W_p mit dem polaren Widerstandsmoment W_p = π · d³/16 (Vollkreis); das polare Flächenträgheitsmoment ist I_p = π · d⁴/32. Beispiel: T = 400 N·m = 400.000 N·mm und W_p = 5.000 mm³ ergeben τ_t = 80 MPa. Der Verdrehwinkel wächst mit T und der Stablänge und sinkt mit der Torsionssteifigkeit G · I_p. Wellen sind rund, weil Kreisquerschnitte das Material bei Torsion optimal ausnutzen; offene Profile wie L- oder U-Querschnitte sind extrem torsionsweich und dafür ungeeignet.
Knicken ist kein Festigkeits-, sondern ein Stabilitätsversagen: Ein schlanker Druckstab weicht seitlich aus, lange bevor die Druckspannung die Festigkeitsgrenze erreicht. Die kritische Last liefert die Euler-Formel F_k = π² · E · I/l_k², mit I als kleinstem Flächenträgheitsmoment, denn der Stab weicht um seine schwache Achse aus. Die Knicklänge folgt aus der Lagerung – die vier Euler-Fälle: eingespannt/frei l_k = 2 · l, beidseitig gelenkig l_k = l, eingespannt/gelenkig l_k = 0,7 · l, beidseitig eingespannt l_k = 0,5 · l. Beispiel: Stab 20 mm × 60 mm, l = 2.000 mm, beidseitig gelenkig. I_min = 60 · 20³/12 = 40.000 mm⁴, l_k = 2.000 mm, also F_k = π² · 210.000 · 40.000/2.000² ≈ 20.700 N ≈ 20,7 kN. Einheitenkontrolle: N/mm² · mm⁴/mm² = N. Fließen begänne erst bei F = R_e · A = 235 · 1.200 = 282 kN – der Stab knickt bei gut 7 Prozent davon. Euler gilt nur für schlanke Stäbe, die elastisch ausknicken; gedrungene, kurze Druckstäbe erreichen vorher die Fließgrenze (Tetmajer-Bereich).
Wirken Normalkraft und Biegemoment gleichzeitig, addieren sich die Normalspannungen am Randpunkt – mit Vorzeichen. Beispiel: Rechteck 30 mm breit, 40 mm hoch (A = 1.200 mm², W = 8.000 mm³), N = 48 kN Zug, M = 0,48 kN·m: σ_N = 48.000/1.200 = 40 MPa, σ_b = 480.000/8.000 = 60 MPa. Am einen Rand 40 + 60 = 100 MPa Zug, am anderen 40 − 60 = −20 MPa, also Druck. Nachweis: 100 MPa ≤ σ_zul = 120 MPa – erfüllt. Für gleichzeitige Normal- und Schubspannungen braucht es eine Vergleichsspannung. Standard für zähe Werkstoffe ist von Mises, im ebenen Spannungszustand σ_v = Wurzel aus (σ_x² + σ_y² − σ_x · σ_y + 3 · τ²), im häufigen Fall „Normalspannung plus Schub“ σ_v = Wurzel aus (σ² + 3 · τ²) – reiner Zug liefert σ_v = σ, reiner Schub σ_v = 1,73 · τ. Klassische Anwendung: die Welle unter Biegung plus Torsion – Ausblick auf die Maschinenelemente.
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Spannung ist die auf die Fläche bezogene innere Kraft in einer gedachten Schnittfläche. Die Normalspannung σ steht senkrecht auf der Schnittfläche (Zug positiv, Druck negativ), die Schubspannung τ liegt tangential in der Fläche. Einheit: MPa = N/mm². Erst die Spannung macht Schnittgrößen mit Werkstoffkennwerten vergleichbar.
Kräfte in N (kN mal 1.000), Längen in mm, Momente in N·mm, E-Moduln in MPa (GPa mal 1.000). Dann gilt: Spannung = N/mm² = MPa, Flächenträgheitsmoment in mm⁴, Widerstandsmoment in mm³. Beispiel: 210 GPa = 210.000 MPa, 45 kN = 45.000 N.
σ = N/A = 45.000 N / 300 mm² = 150 N/mm² = 150 MPa. Nachweis: σ_vorh = 150 MPa ≤ σ_zul = 160 MPa – erfüllt. Einheitenkontrolle: N/mm² ist per Definition MPa; wer mit 45 statt 45.000 rechnet, bekommt den unsinnigen Wert 0,15 MPa.
ε = Δl/l₀, also Längenänderung geteilt durch Ausgangslänge. Als Quotient zweier Längen ist sie dimensionslos; wegen der kleinen Werte gibt man sie oft in Promille an. Beispiel: Δl = 1 mm bei l₀ = 2.000 mm ergibt ε = 0,0005 = 0,5 ‰.
Im elastischen Bereich sind Spannung und Dehnung proportional: σ = E · ε. Der Elastizitätsmodul E ist ein Werkstoffkennwert: Stahl rund 210.000 MPa, Aluminium rund 70.000 MPa. Bei gleicher Spannung dehnt sich Aluminium deshalb dreimal so stark wie Stahl.
Δl = N · l₀/(E · A) = 21.000 · 2.000/(210.000 · 200) = 1,0 mm. Einheitenkontrolle: N · mm/(N/mm² · mm²) = mm. Kontrolle über die Kette: σ = 21.000/200 = 105 MPa, ε = 105/210.000 = 0,5 ‰, Δl = 0,0005 · 2.000 mm = 1,0 mm.
Ein gezogener Stab wird nicht nur länger, sondern auch dünner: ε_quer = −ν · ε_längs mit der Querkontraktionszahl ν ≈ 0,3 für Metalle. Beispiel: Bei einer Längsdehnung von 0,5 ‰ beträgt die Querdehnung −0,15 ‰.
Frei dehnbar: ε_th = α · ΔT = 0,0006 = 0,6 ‰, also Δl = 0,0006 · 10.000 mm = 6 mm. Vollständig behindert: σ = E · α · ΔT = 210.000 · 0,0006 = 126 MPa Druckspannung – ohne äußere Last. Die Spannung ist von der Stablänge unabhängig, die Längenänderung nicht.
Streckgrenze R_e: Ende des rein elastischen Bereichs, der Werkstoff beginnt zu fließen. Zugfestigkeit R_m: Maximum des technischen Spannungs-Dehnungs-Diagramms. Bruchdehnung: bleibende Dehnung beim Bruch, Maß für die Duktilität. Duktile Werkstoffe verformen sich vor dem Versagen stark, spröde brechen fast ohne Vorwarnung.
σ_zul = Werkstoffgrenzwert geteilt durch Sicherheitsfaktor S – bei duktilen Werkstoffen meist R_e/S, bei spröden R_m/S. Beispiel: S235 mit R_e = 235 MPa und S = 1,5 ergibt σ_zul ≈ 157 MPa. Grundschema: vorhandene Spannung berechnen, zulässige bestimmen, vergleichen – σ_vorh ≤ σ_zul explizit hinschreiben.
I misst, wie gut die Querschnittsfläche gegen Biegung verteilt ist: Material weit weg von der neutralen Faser wirkt überproportional. Einheit mm⁴. Rechteck: I = b · h³/12, wobei h die Abmessung in Lastrichtung ist – die Höhe geht mit der dritten Potenz ein, die Breite nur linear.
I (mm⁴) beschreibt die Steifigkeit des Querschnitts gegen Biegeverformung und steckt in der Biegesteifigkeit E · I. W = I/z_max (mm³) bezieht I auf den Randabstand und liefert direkt die Randspannung σ_b = M/W. Rechteck: W = b · h²/6. Für Spannungsnachweise braucht man W, für Verformungen I.
Für zusammengesetzte Querschnitte: I_gesamt = Summe aus (I_eigen + A · a²) über alle Teilflächen; a ist der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt. Fehler 1: a auf eine falsche Achse statt auf den Gesamtschwerpunkt beziehen. Fehler 2: den Eigenanteil I_eigen weglassen – er gehört immer dazu, auch wenn er klein ist.
Eigenanteil: I_eigen = 60 · 20³/12 = 40.000 mm⁴. Fläche: A = 60 · 20 = 1.200 mm². Steiner-Anteil: A · a² = 1.200 · 40² = 1.920.000 mm⁴. Gesamtbeitrag des Gurts: 40.000 + 1.920.000 = 1.960.000 mm⁴ – der Steiner-Anteil dominiert deutlich, der Eigenanteil zählt trotzdem mit.
Bei gerader Biegung verläuft σ linear über die Höhe: null in der neutralen Faser durch den Schwerpunkt, Maximum am Rand, eine Seite Zug, die andere Druck. Randspannung: σ_b = M/W = 1.200.000 N·mm / 12.000 mm³ = 100 MPa. Einheitenkontrolle: N·mm/mm³ = N/mm² = MPa.
Von der Biegesteifigkeit E · I im Nenner – doppeltes I bedeutet halbe Durchbiegung – und sehr stark von der Länge: Beim Kragarm mit Endlast gilt f = F · l³/(3 · E · I), die Länge geht hoch drei. Doppelte Länge heißt also achtfache Durchbiegung.
Weil seine Gurte weit von der neutralen Faser entfernt liegen und dort über den Steiner-Anteil A · a² überproportional zu I beitragen. Im Beispielprofil (Steg 20 mm breit und 60 mm hoch, zwei Gurte je 60 mm breit und 20 mm hoch) liefern die Gurte über 90 Prozent von I = 4.280.000 mm⁴.
Beim Kreisquerschnitt bleiben die Querschnitte beim Verdrehen eben, die Schubspannung steigt linear vom Wert null in der Achse zum Maximum am Rand – das Material wird gleichmäßig genutzt: τ_t = T/W_p mit W_p = π · d³/16. Offene Profile wie L- oder U-Querschnitte sind extrem torsionsweich und verformen sich stark.
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Lernkarten übernehmenLösung:
Kraft umrechnen: N = 45 kN = 45.000 N. Spannung: σ = N/A = 45.000 N / 300 mm² = 150 N/mm² = 150 MPa. Nachweis: σ_vorh = 150 MPa ≤ σ_zul = 160 MPa – erfüllt. Einheitenkontrolle: N durch mm² ergibt per Definition MPa.
Wer 0,15 MPa erhält, hat die 45 kN nicht in N umgerechnet und um den Faktor 1.000 zu klein gerechnet. 1.500 MPa entsteht durch einen Zehnerfehler bei der Fläche. Der Nachweis gehört immer explizit dazu: Eine berechnete Spannung ohne Vergleich mit der zulässigen ist noch keine Aussage über die Tragfähigkeit.
Lösung:
Δl = N · l₀/(E · A) = 21.000 N · 2.000 mm/(210.000 N/mm² · 200 mm²) = 42.000.000/42.000.000 mm = 1,0 mm. Einheitenkontrolle: N · mm/(N/mm² · mm²) = mm. Kontrolle über die Kette: σ = 21.000/200 = 105 MPa, ε = 105/210.000 = 0,0005 = 0,5 ‰, Δl = 0,0005 · 2.000 mm = 1,0 mm.
Die Spannung von 105 MPa liegt deutlich unter der Streckgrenze von Baustahl, das Hookesche Gesetz ist also anwendbar. Wer 10 mm erhält, hat E mit 21.000 statt 210.000 MPa eingesetzt (GPa-Umrechnung um eine Zehnerpotenz verfehlt); 0,1 mm ist derselbe Fehler in die andere Richtung. Merke: Die Dehnung 0,5 ‰ ist typisch für elastisch beanspruchten Stahl – Ergebnisse im Prozentbereich sollten misstrauisch machen.
Lösung:
Hochkant (b = 20 mm, h = 60 mm): I = b · h³/12 = 20 · 216.000/12 = 360.000 mm⁴. W = b · h²/6 = 20 · 3.600/6 = 12.000 mm³. Kontrolle: W = I/z_max = 360.000/30 = 12.000 mm³.
Flach (b = 60 mm, h = 20 mm): I = 60 · 8.000/12 = 40.000 mm⁴. W = 60 · 400/6 = 4.000 mm³. Kontrolle: W = 40.000/10 = 4.000 mm³.
Faktoren: I wächst hochkant um 360.000/40.000 = 9, W um 12.000/4.000 = 3. Einheitenkontrolle: mm · mm³ = mm⁴ für I, mm · mm² = mm³ für W – beides stimmt.
Der Orientierungseffekt ist der Kern der Aufgabe: Die Höhe geht in I mit der dritten Potenz ein, in W mit dem Quadrat. Beim Tausch der Rollen von b und h ändert sich I um den Faktor (60/20)² = 9 und W um 60/20 = 3. Deshalb stellt man Balken hochkant: gleiches Material, neunfache Steifigkeit, dreifach kleinere Randspannung. Häufigster Fehler ist, die 60-mm-Seite auch in der flachen Lage als h einzusetzen – die Kontrolle über W = I/z_max deckt Rechenfehler zuverlässig auf.
Lösung:
Widerstandsmoment hochkant: W = b · h²/6 = 20 · 60²/6 = 12.000 mm³. Moment umrechnen: M = 1,2 kN·m = 1.200.000 N·mm. Randspannung: σ_b = M/W = 1.200.000/12.000 = 100 MPa. Einheitenkontrolle: N·mm/mm³ = N/mm² = MPa. Nachweis, etwa gegen σ_zul = 140 MPa: 100 ≤ 140 – erfüllt.
Wer 3,33 erhält, hat M durch I = 360.000 mm⁴ geteilt – das Ergebnis hat dann nicht einmal die Einheit einer Spannung (N/mm³ statt N/mm²), die Einheitenkontrolle deckt diesen Fehler sofort auf. 300 MPa entsteht mit dem flach gelegten Querschnitt (W = 60 · 20²/6 = 4.000 mm³): Der Orientierungseffekt verdreifacht die Randspannung. 10 MPa ist ein Zehnerfehler bei der Momentumrechnung.
Lösung:
Zweischnittig tragen zwei Scherflächen: τ = F/(2 · A) = 24.000 N/(2 · 200 mm²) = 24.000/400 = 60 MPa. Nachweis: 60 MPa ≤ τ_zul = 80 MPa – erfüllt. Einheitenkontrolle: N/mm² = MPa.
Einschnittig stünde die volle Kraft einer einzigen Scherfläche gegenüber: τ = 24.000/200 = 120 MPa größer als 80 MPa, der Nachweis wäre verfehlt. Genau deshalb führt man hoch belastete Bolzen- und Nietverbindungen zweischnittig aus oder vergrößert den Bolzendurchmesser. Wer 30 MPa erhält, hat versehentlich vier Scherflächen angesetzt; 0,06 MPa entsteht, wenn kN nicht in N umgerechnet werden.
Lösung:
Der Stab weicht um die schwache Achse aus, also mit der 20-mm-Seite als Biegehöhe: I_min = 60 · 20³/12 = 40.000 mm⁴ (nicht 360.000 mm⁴).
Beidseitig gelenkig ist Euler-Fall 2: l_k = l = 2.000 mm.
Knicklast: F_k = π² · E · I_min/l_k² = 9,87 · 210.000 · 40.000/2.000² ≈ 20.700 N ≈ 20,7 kN. Einheitenkontrolle: N/mm² · mm⁴/mm² = N.
Fließen: F = R_e · A = 235 N/mm² · 1.200 mm² = 282.000 N = 282 kN. Da 20,7 kN weit unter 282 kN liegt, ist Knicken maßgebend – der Stab versagt durch Stabilitätsverlust bei gut 7 Prozent der Fließdruckkraft.
Zwei Fehler dominieren in Klausuren: das große I = 360.000 mm⁴ einsetzen (ergibt scheinbar plausible 186,5 kN – der Stab wäre neunfach überschätzt) und die Knicklänge falsch zuordnen (beidseitig gelenkig ist Fall 2 mit l_k = l; die übrigen Fälle: eingespannt/frei 2 · l, eingespannt/gelenkig 0,7 · l, beidseitig eingespannt 0,5 · l). Der Vergleich mit der Fließdruckkraft zeigt den Kategorienunterschied: Knicken ist Stabilitätsversagen und tritt hier lange vor jedem Festigkeitsversagen ein. Die Euler-Formel gilt dabei nur für schlanke Stäbe, die elastisch ausknicken – gedrungene Stäbe erreichen zuerst die Fließgrenze.
Lösung:
Querschnittswerte: A = 30 · 40 = 1.200 mm², W = b · h²/6 = 30 · 40²/6 = 8.000 mm³.
Zuganteil (über den ganzen Querschnitt konstant): σ_N = N/A = 48.000/1.200 = 40 MPa.
Biegeanteil am Rand: σ_b = M/W = 480.000 N·mm/8.000 mm³ = 60 MPa, auf einer Seite als Zug, auf der anderen als Druck.
Überlagerung: zugseitiger Rand 40 + 60 = 100 MPa Zug, gegenüberliegender Rand 40 − 60 = −20 MPa, also 20 MPa Druck – das Vorzeichen kippt, obwohl der Stab insgesamt gezogen wird.
Nachweis: maximale Betragsspannung 100 MPa ≤ σ_zul = 120 MPa – erfüllt. Einheitenkontrolle: N/mm² = MPa in beiden Anteilen.
Die Addition funktioniert, weil Zug- und Biegespannung hier gleichgerichtete Normalspannungen sind; eine Vergleichsspannung nach von Mises wäre erst nötig, wenn zusätzlich Schubspannungen wirkten (etwa Torsion – dann σ_v = Wurzel aus (σ² + 3 · τ²)). Typische Fehler: das Moment nicht in N·mm umrechnen (480 statt 480.000 ergibt einen Biegeanteil von 0,06 MPa) und den zweiten Rand vergessen – die Druckseite kann bei anderen Zahlenwerten bemessungsrelevant werden, etwa wenn der Werkstoff auf Druck anders belastbar ist.
Lösung:
Richtig sind die Aussagen zur Streckgrenze, zur Zugfestigkeit und zur Bildung der zulässigen Spannung. Falsch ist die Aussage zum Hookeschen Gesetz – es gilt nur im linearen Anfangsbereich unterhalb von R_e. Ebenfalls falsch ist die Aussage zu spröden Werkstoffen: Große Verformung vor dem Bruch kennzeichnet duktile Werkstoffe; spröde brechen fast ohne Vorwarnung.
Die Kennwerte sind die Brücke zwischen Werkstoffprüfung und Nachweis: R_e bzw. R_m liefert den Grenzwert, der Sicherheitsfaktor macht daraus σ_zul, und jede Aufgabe endet mit σ_vorh ≤ σ_zul. Dass man duktile Werkstoffe gegen die Streckgrenze absichert, hat einen praktischen Grund: Schon bleibende Verformung macht ein Bauteil meist unbrauchbar, lange bevor es bricht.
Lösung:
Richtig sind die Aussagen zum Stabilitätsversagen, zu Euler-Fall 2 und zur Unterscheidung schlank/gedrungen. Falsch ist die Aussage zur Knickachse: Der Stab weicht um die schwache Achse mit dem kleinsten Flächenträgheitsmoment aus – deshalb rechnet man mit I_min. Falsch ist auch der Geltungsanspruch der Euler-Formel: Sie setzt elastisches Ausknicken voraus und gilt nur für schlanke Stäbe; gedrungene erreichen vorher die Fließgrenze.
Die vier Euler-Fälle im Überblick: eingespannt/frei l_k = 2 · l, beidseitig gelenkig l_k = l, eingespannt/gelenkig l_k = 0,7 · l, beidseitig eingespannt l_k = 0,5 · l. Weil l_k quadratisch im Nenner von F_k = π² · E · I/l_k² steht, vervierfacht die beidseitige Einspannung die Knicklast gegenüber Fall 2. Und weil die Knicklast mit dem kleinsten I steht und fällt, knicken flache Rechteckstäbe stets um ihre dünne Richtung.
Lösung:
Richtig sind die Aussagen zur dritten Potenz der Höhe, zum Steiner-Abstand und zur linearen Spannungsverteilung mit spannungsfreier neutraler Faser. Falsch ist das Weglassen des Eigenanteils – er gehört immer in die Summe I_eigen + A · a², auch wenn der Steiner-Anteil dominiert. Falsch ist auch M/I: Die Randspannung liefert σ_b = M/W mit W = I/z_max; M/I hätte nicht einmal die Einheit einer Spannung.
Der Steiner-Satz erklärt nebenbei, warum I-Profile so effizient sind: Die Gurte liegen weit vom Gesamtschwerpunkt entfernt, und ihr Anteil A · a² wächst quadratisch mit dem Abstand – im Beispielprofil der Zusammenfassung liefern die beiden Gurte über 90 Prozent des gesamten Flächenträgheitsmoments von 4.280.000 mm⁴. Da A · a² nie negativ ist, ist I bezüglich der Schwerachse außerdem am kleinsten – ein guter Plausibilitätscheck für jede Steiner-Rechnung.
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